Задача Мінковського:
Чи існує замкнута опукла гіперповерхня , у якої кривина Гауса є заданою функцією одиничного вектора зовнішньої нормалі .
Поставлена Мінковським, якому належить узагальнене розвязання цієї задачі, в тому сенсі, що воно не містить жодної інформації про характер регулярності , навіть якщо — аналітична функція. Мінковський довів, що якщо на одиничній гіперсфері задана безперервна додатна функція , яка задовольняє умові: , то існує і єдина (з точністю до паралельного переносу) замкнена опукла поверхня , для якої є кривиною Гауса в точці з зовнішньою нормаллю .
Регулярне рішення задачі Мінковського в Евклідовому просторі дано Погорєловим О. В. у 1971 році. Зокрема, він довів, що якщо належить класу , , то одержувана поверхня належить класу гладкості , а в випадку аналітичності , поверхня також буде аналітичною.
За рішення цієї проблеми Погорєлов О. В. був нагороджений Державною премією УРСР в 1974 році.
Варіації і узагальнення
Існує узагальнення задачі Мінковського для Ріманова просторуBodrenko A.I. The solution of the Minkowski problem for open surfaces in Riemannian space. Arxiv.org, 2007..
Див. також Теорема Мінковського
Література
Minkowski H. Volumen und Oberfläche, Mathematische Annalen, 57 (1903) 447—495 Погорелов А. В., Многомерная проблема Минковского, М., 1971; Буземан Г., Выпуклые поверхности, пер. с англ.. М., 1964.