Гауссові цілі числа — комплексні числа вигляду де — звичайні цілі числа. Якщо дозволити раціональні значення для то одержимо поле гауссових раціональних чисел.
Гауссові цілі числа утворюють комутативне кільце, яке докладно дослідив Карл Гаусс. На гауссові цілі числа поширюється теорема про однозначність розкладу на прості множники, яка відома для звичайних цілих чисел з часів Евкліда. Це надає концептуальне пояснення результатам П. Ферма та Л. Ейлера відносно розв'язків рівняння у цілих числах і приводить до короткого доведення великої теореми Ферма для
Множина гауссових цілих чисел прийнято позначати їх властивості схожі на властивості множини звичайних цілих чисел , проте є й істотні відмінності.
У запроваджених Гауссом і Н. Абелем дослідженнях довжини дуги лемніскати, гауссові цілі числа було застосовано до питань теорії еліптичних функцій, так звана теорія комплексного множення, і до обчислення середнього арифметико-геометричного.
Загальні властивості
Визначення і класифікація Формальне визначення: .
Множина містить безліч звичайних цілих чисел і являє собою його розширення.Сума, різниця і добуток гауссових чисел є гауссовими числами; така структура алгебри називається кільцем.Ввести в цьому комплексному кільці впорядкованість неможливо. Відзначимо також, що спряжене до гауссового числа є також гауссове число
Кожне гауссове число задовольняє квадратному рівнянні:
Тому гауссове число є ціле алгебраїчне число.
Норма Норма для гауссового числа визначається як квадрат його модуля:
Властивості норми: Норма дорівнює нулю тільки для нуля. В інших випадках норма — додатне ціле число. Норми спряжених чисел збігаються. Норма звичайного цілого числа дорівнює його квадрату. Якщо норма непарна, то вона має вигляд , тобто при діленні його на виходить залишок . Ніяке гауссове число не може мати норму виду Норма, як і модуль, має важливу властивість мультиплікативності:
Звідси випливає, що зворотніми елементами кільця є ті елементи, у яких норма дорівнює , тобто .
Два гауссових числа називаються асоційованими, якщо одне виходить з іншого множенням на дільник одиниці. Легко побачити, що асоційованість — відношення еквівалентності. Приклад: гауссові числа и асоційовані, оскільки:
У кожного ненульового гауссового числа є три асоційованих з ним. Норми всіх чотирьох асоційованих між собою чисел збігаються.
Теорія подільності
Ділення націло Ділення націло гауссових чисел визначається звичайним чином: Вимова: один з трьох рівносильних варіантів. ділиться на ділить — дільник Використовуються традиційні терміни: ділене або кратне (), дільник () та частка від ділення (). Кількість дільників гауссового числа завжди скінчене, кількість кратних нескінченно.
Приклад: число ділиться націло на , тому що .
Всі гауссові числа діляться на дільники одиниці, тому будь-яке гауссове число, відмінне від дільників одиниці, має як мінімум дільників: дільника одиниці і їх добутку на саме це число. Ці подільники називаються тривіальними.
Ділення націло в за своїми властивостями схоже на аналогічне ділення цілих чисел. Деякі специфічні для гауссових чисел особливості: Якщо гауссове число ділиться націло на звичайне ціле число, то на це ціле число діляться як дійсна, так і уявна частина Якщо и , то ці числа асоційовані. Якщо , то будь-яке з 3 чисел, асоційованих з ділиться на будь-яке з чисел, асоційованих з . Якщо ділиться на , то спряжене до діленого числа ділиться на спряжене до дільника Всі дільники гауссового числа є також дільниками його норми Норма гауссового числа парна тоді і тільки тоді, коли це число ділиться на Якщо , то і норма діленого, в силу мультиплікативності, ділиться націло на норму дільника. При цьому:
Кажуть, що гауссове число ділиться (націло) на гауссове число , якщо існує третє гауссове число таке, що . Позначення: ,
Геометричне уявлення подільності У кожного гауссового числа є кратних з тією ж нормою (і, відповідно, тим же модулем) — це саме та асоційовані з ним числа, які виходять послідовним множенням на :
Але множення на означає на комплексній площині поворот радіус-вектора числа на 90° проти годинникової стрілки, причому модуль результату буде тим же. Таким чином, всі 4 числа утворюють рівносторонній хрест (виділено червоним на малюнку), центр і вершини якого кратні . Послідовно зрушуючи цей хрест на всі боки на одну з 4 величин, асоційованих з , ми одержуємо на всій площині квадратну решітку, всі вузли якої (вершини квадратів) кратні . Зворотньо, будь яке кратне збігається з одним з вузлів решітки. Ширина кожного квадрата решітки дорівнює Далі для стислості ця решітка буде називатися «решіткою кратних» (або, якщо потрібне уточнення, «-решітка кратних»).
Приклад: на малюнку одним з вузлів решітки є число , кратне :
Прості гауссові числа Просте гауссове число — це ненульове число, яке не має інших дільників, крім тривіальних. Число, що не є простим, називається складовим. При цьому дільники одиниці, подібно натуральної одиниці, не вважаються ні простими, ні складовими числами.
Деякі властивості простих гауссових чисел: Якщо — просте гауссове число, то і спряжене до нього гауссове число також є простим. Якщо просте гауссове число є дільником добутку гауссових чисел, то воно є дільником принаймні одного із співмножників. Норма будь-якого простого гауссового числа, крім асоційованих з , завжди непарна і тому дорівнює Натуральне просте число може не бути гауссовим простим числом. Наприклад, числа 2 і 5 в вже не прості:
Взаємно прості числа Якщо гауссове число є дільником для двох гауссових чисел і , воно називається їх спільним дільником. Множина спільних дільників двох чисел завжди містить 4 дільники одиниці; якщо інших спільних дільників немає, ці числа називаються взаємно простими.
Відзначимо, що якщо норми гауссових чисел , взаємно прості як цілі числа, то і самі числа , взаємно прості як гауссові числа. Зворотнє невірно: норми взаємно простих гауссових чисел можуть мати спільні дільники — наприклад і взаємно прості, але їх норми збігаються і тому не взаємно прості.
Зазначимо дві властивості, аналогічні властивостям цілих чисел. Якщо кожне з двох гауссових чисел взаємно просто з гауссовим числом то і їх добуток теж взаємно просто з Якщо і при цьому взаємно просто з , то
Критерій Гауса Гаус вказав визначальні ознаки простого числа в . Гауссове число є простим тоді і тільки тоді, коли: або одне з чисел нульове, а інше — ціле просте число виду ; або обидва не нулі та норма — просте натуральне число.
Наведемо приклади простих гауссових чисел. До першої частини критерію: До другої частини критерію: Деякі джерела для більшої ясності поділяють другу частину критерію на дві: Числа, асоційовані з Їх норма дорівнює 2. Числа, норма яких є просте натуральне число вигляду Сам Гаус такого поділу не робив.
Наслідки. Ніяке просте натуральне число вигляду не може бути простим гауссовим числом. Прості натуральні числа виду є і простими гауссовими числами. Норма простого гауссового числа є або простим натуральним числом, або квадратом простого натурального числа. Просте натуральне число вигляду можна представити як добуток спряжених простих гауссових чисел або, що те ж саме, як суму квадратів . Цей факт відомий як Теорема Ферма — Эйлера. Саме при дослідженні даної теми, а також теорії біквадратичних лишок, Гаус з успіхом застосував цілі комплексні числа. Навпаки, якщо просте натуральне число можна подати у вигляді суми натуральних квадратів, то в воно складене і розкладається на два спряжених гауссових простих. Кожне просте гауссове число є дільником одного і тільки одного простого натурального числа. Це означає, що розкладаючи натуральні прості на гауссові множники, ми отримаємо всі гауссові прості.
Розклад на прості множники В має місце аналог основної теореми арифметики: кожне гауссове число, що не є нулем або дільником одиниці, розкладається на прості множники, причому це розкладання однозначно з точністю до порядку і асоційованості множників.
Приклад: Множники цих двох, по виду різних, розкладів попарно асоційовані: так що однозначність не порушується.
Щоб практично розкласти гауссове число на прості множники, можна використовувати наведену вищу властивість: всі дільники гауссового числа є також дільниками його норми. При цьому норма містить також «зайві» прості множники, відповідні спряжені до на прості множники, можна використовувати наведену вище властивість: всі дільники гауссового числа є також дільниками його норми.
Таким чином, почати слід з розкладання норми числа на прості натуральні множники. Множник 2, якщо він присутній в розкладанні норми, розкладається як. Слід включити в результуюче розкладання ті з цих множників (у відповідній мірі), на які ділиться націло. Крім 2, інші множники норми — непарні. Множник виду є простим гауссовим числом, тому він ділить не тільки норму, але і саме Але тоді цей множник ділить і спряжене число . Звідси випливає, що множник виду входить в розкладання норми завжди в парній степені, а в розкладання самого — в степені, вдвічі меншою. Множник виду можна розкласти на добуток спряжених простих гауссових чисел (або, що те ж саме, на суму квадратів натуральних чисел). І тут слід діленням з'ясувати, який із співмножників відноситься до початкового числа, а який — до спряженого. Приклад. Розкладемо на прості множники Норма цього числа дорівнює 225, розкладемо її на прості натуральні множники: За попереднім, Перевіркою переконуємося, що ділиться тільки на и не ділиться на Частка від ділення на дорівнює тому остаточно отримуємо:
Теорія порівнянь
Порівняння по гауссовому модулю Поняття порівняння по модулю визначається в аналогічно тому, як це робиться для цілих чисел:
Нехай — деяке гауссове число. Два гауссових числа називаються порівнянними по модулю , якщо різниця ділиться (націло) на . Запис:
Властивості порівнянь в в основному такі ж, як у цілих чисел. Відношення порівнянності є відношення еквівалентності, тому розбивається на непересічні класи лишок — кожен такий клас містить всі порівнянні один з одним (по заданому модулю) гауссові числа. Для класів, як у випадку цілих чисел, можна визначити додавання і множення, так що виходить кільце лишок по гауссовому модулю.
Приклад. Візьмемо як модуль порівняння . Тоді розбивається на два класи лишок: числа , у яких , однакової парності, потраплять в один клас (що містить кратні модуля), а числа з різною парністю ,— в іншій.
У гауссового порівняння є деякі особливості. Наприклад, якщо для цілих чисел по модулю 3 існують 3 класу лишок з представниками то для гауссових чисел за тим же модулю кількість класів значно більше. Їх представники:
Як виявив Гаус, кільце лишок по модулю містить елементів. Цей факт змушує модифікувати деякі класичні теореми. Наприклад, мала теорема Ферма для цілих чисел стверджує, що ділиться на для будь-якого простого і натурального . Для гауссових чисел це невірно, навіть якщо обмежитися натуральними значеннями ; наприклад, для цілих чисел завжди ділиться на 3, а для гауссових , і це значення на 3 не ділиться. Модифікований аналог малої теореми Ферма формулюється в такий спосіб: Перевіримо на тому ж прикладі з Отримуємо: — ділиться на 3.
Нехай — деяке гауссове число. Два гауссових числа називаються порівнянними по модулю , якщо різниця ділиться (націло) на . Запис:
Назвемо клас лишок по модулю містить число оборотним, якщо порівняння має рішення відносно Клас оборотний тоді і тільки тоді, коли гауссові числа и взаємно прості. Зокрема, якщо модуль порівнянь — гауссове просте число, то кожен ненульовий клас лишок має оборотний елемент, а це означає, що класи лишок по простому модулю в , як і в утворюють поле.
Функція Ейлера для гауссових чисел Введемо аналог функції Ейлера для гауссових чисел. Визначення для цілих чисел не годиться хоча б тому, що міститься в ньому вираз «від до » не має сенсу для комплексних чисел. Нове визначення:
Функція Ейлера для гауссового числа визначається як число оборотних класів лишок по модулю