У геометрії, Куб Рупрехта Пфальцького або куб принца Руперта (, названий на честь Рупрехта Пфальцького), — це найбільший куб, який може пройти через отвір, вирізаний в одиничному кубі, тобто через куб із ребром довжини 1. Ребра такого куба приблизно на 6% довші, ніж ребра одиничного куба, через які він проходить. Проблема пошуку найбільшого квадрата, що повністю розташований всередині одиничного куба, тісно з цим пов'язана та має такий самий розв'язок.

Розв'язання Якщо взяти дві точки на двох дотичних ребрах одиничного куба, кожну на відстані 3/4 від кута, в якому дотикаються ці два ребра, то відстань між цими точками буде

Ці дві точки, разом із двома точками, розташованими симетрично на протилежній стороні (грані) куба, формують чотири сторони квадрата, що повністю розташований всередині одиничного куба. Якщо цей квадрат поширити в обидві сторони перпендикулярно до його площини, він формує отвір, через який може пройти куб, більший ніж початковий (довжиною ребра до ).

Частини куба, що утворюються після вирізання отвору, утворюють дві трикутні призми та два неправильних чотиригранники, пов'язаних тонкими містками у чотирьох вершинах квадрата. Кожна призма має дві з шістьох вершин на двох поряд розташованих вершинах куба та чотири вершини — вздовж ребер куба на відстані 1/4 від цих вершин куба. Кожен чотирикутник має таке розташування своїх чотирьох вершин: одна — вершина куба, дві — на відстані 3/4 на дотичних до цієї вершини куба ребрах та одна — на відстані 3/16 від вершини куба на третьому дотичному ребрі куба.

Історія Куб Рупрехта Пфальцького названий на честь Рупрехта Пфальцького. Відповідно до історії, розказаної 1693 року англійським математиком Джоном Валлісом, принц Рупрехт посперечався, що в кубі можна вирізати достатньо великий отвір, щоб через нього можна було протягнути куб такого самого розміру. Валліс довів, що такий отвір насправді можливий (із певними помилками, які виправлено значно пізніше), і принц Рупрехт виграв суперечку.

Валліс припустив, що такий отвір буде паралельним просторовій діагоналі куба. Проєкція куба на площину, перпендикулярна цій діагоналі, є правильним шестикутником, а найбільший отвір, паралельний діагоналі, можна отримати, намалювавши найбільший квадрат, який можна вписати в цей шестикутник. Підрахунок розміру такого квадрата показує, що куб із довжиною ребра , трохи більшою за одиницю, може пройти через отвір.

Приблизно за 100 років голландський математик Пітер Ньюланд вирахував, що кращий розв'язок (насправді, оптимальний розв'язок) можна отримати при прорізанні отвору під іншим кутом, ніж просторова діагональ. Ньюланд помер 1794 року (лише за рік після того, як став професором Лейденського університету), однак його розв'язок опублікував після його смерті, 1816 року, його наставник, Ян Генрі ван Свінден.. Notes for "Recreational Mathematics: A Short Course in Honor of the 300th Birthday of Benjamin Franklin, " Mathematical Association of America, Albuquerque, NM, August 2-3, 2005..

Відтоді проблема наводилась у багатьох книжках з рекреаційної математики, деколи з розв'язком Валліса замість оптимального розв'язку.... Reprinted as .. Translated from the Polish by Waclaw Zawadowski....

Моделі Побудова фізичної моделі куба принца Руперта досить важка через вимоги до акуратності та точності вимірів та тонкі містки між залишковими частинами одиничного куба після вирізання отвору; тому часто казали, що проблема «математично можлива, практично — ні».. Однак у публікації дослідження проблеми в 1950 році Д. Дж. І. Шрек навів фотографії моделі куба, що проходить через отвір в іншому кубі.. As cited by and . Мартін Рейнсфорд розробив шаблон для будівництва паперових моделей куба, через який проходить інший куб; для врахування неточностей конструювання з паперу та щоб не порвати папір у тонких з'єднаннях прорізаного куба, отвір у моделі десь на 2% більший, ніж куб, який через нього проходить.. Originally published in Make Online.

Узагальнення Куб — не єдина фігура, яка може пройти через отвір, вирізаний у своїй копії; те саме справджується і для правильних чотиригранника та октаедра..

Інший варіант для формулювання тої самої проблеми — це спитати про найбільший квадрат, що лежить всередині одиничного куба. Більш узагальнено, показують, як знайти найбільший прямокутник заданого співвідношення сторін, що лежить всередині одиничного куба. Як вони демонструють, оптимальний прямокутник завжди має перетинати центр куба, з вершинами на гранях куба. На основі цього, в залежності від заданого співвідношення сторін, цей оптимальний прямокутник повинен лежати або у площині, що діагонально перетинає чотири вершини куба, або має формуватися рівнобедреним прямокутним трикутником в одній вершині куба та двома протилежними точками, як у випадку з кубом принца Руперта. Якщо співвідношення сторін не задане, то найбільша площа прямокутника, вписаного в куб, буде в прямокутника, що має два протилежні ребра куба як дві сторони та дві протилежні площинні діагоналі як ще дві сторони..

Альтернативно, можна попросити вирахувати найбільший -вимірний гіперкуб, який можна намалювати всередині -вимірного одиничного гіперкуба. Відповідь завжди буде алгебраїчним числом. Наприклад, проблема для запитує про найбільший куб всередині чотиривимірного гіперкуба. Після того, як Мартін Ґарднер поставив це запитання в Scientific American, Кей Р. Печенік ДеВіччі та ще декілька дописувачів продемонстрували, що для випадку (3,4) відповіддю є квадратний корінь меншого з справжніх коренів полінома , що становить приблизно 1.007435... Для , оптимальна довжина сторони найбільшого квадрата в -вимірному гіперкубі дорівнює або , або , в залежності від того чи є кратним або не-кратним відповідно.

Примітки

Посилання