Зміст Наступна

Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж кута Насамперед відмітимо уже відомі нам тотожності:

Ці співвідношення є означеннями відповідних тригонометричних функцій. Доведемо ще декілька співвідношень: 5. (13) Дійсно, перемноживши почленно співвідношення (7) і (8), отримаємо (13). 6. (14)

Нехай – довільний кут. Відмітимо на одиничному колі точку , що відповідає кінцевій стороні кута . Розглянемо прямокутний трикутник ( °). У ньому , , . За теоремою Піфагора . Підставивши відповідні значення у цю рівність, отримаємо (14). Співвідношення (14) називають основною тригонометричною тотожністю. 7. (15) Для того, щоб отримати дане співвідношення, потрібно (14) почленно розділити на і врахувати (7) і (9). 8. (16) Доведіть останнє співвідношення самостійно.

Значення тригонометричних функцій деяких кутів Знайдемо значення тригонометричних функцій деяких кутів.

1. Нехай вектор одиничної довжини утворює з віссю абсцис кут . Тоді його координати і дорівнюють відповідно і . Але, як ми показали раніше, ці координати дорівнюють косинусу та синусу кута . Отже, , . Врахувавши означення (7)-(10), маємо: , – не визначений, , – не визначений. 2. Якщо , то координати вектора будуть такі: , . Отже, , , – не визначений, , – не визначений, .

3. Нехай (див. мал. Одиничне коло. Кут ). Відкладемо від осі абсцис такий самий кут в протилежному напрямку. Розглянемо утворений . У ньому , а прилеглі до цього кута сторони трикутника – рівні як радіуси кола. Тому – рівносторонній. Тоді й . Висота рівностороннього трикутника дорівнює , тому . Так як висота рівностороннього трикутника є і його медіаною, то . Як бачимо, точка А має координати , . Тоді , . Звідси маємо: , , , . Аналогічно можна знайти значення тригонометричних функцій і деяких інших кутів. Значення тригонометричних функцій кутів , , , , слід знати напам’ять. Наводимо таблицю цих значень: не існує не існує не існує не існує

Побудова кута за даними значеннями його тригонометричних функцій

Задача. Побудувати кут , синус якого дорівнює . I. Якщо , то побудувати такий кут неможливо, так як . II.Якщо , то робимо так. Проводимо коло радіуса з центром у початку координат. На осі відмічаємо точку , і проводимо через неї пряму, паралельну осі абсцис. Точки перетину цієї прямої з колом позначимо через та . Вектори та мають одиничну довжину, а їх ординати дорівнюють . Тому всі кути, для яких кінцеві сторони містять та , мають синус, що дорівнює . Побудуйте самостійно кути, косинус, тангенс і котангенс яких дорівнює . Приклад 1. Знайти , якщо . Розв’язання. Піднесемо співвідношення почленно до квадрату. Отримаємо: . Використавши основну тригонометричну тотожність, матимемо , звідки . Вправи 13. З’ясуйте, чи можуть синус і косинус кута одночасно дорівнювати нулю. 14. Доведіть нерівність . 15. Знайти , якщо . 16. Побудувати кут за такими даними:

17. Обчислити:

Зміст Наступна