Нотація Фогта — матрична форма запису симетричного тензора 4-го рангу. Вперше була запропонована німецьким фізиком Вольдемаром Фогтом для тензора пружності в формулюванні закону Гука для анізотропних матеріалів.
Позначення Якщо тензор 4-ранга є симетричним за першою і другою парою індексів , ,
то його елементи можуть бути записані у вигляді матриці 6x6, використовуючи наступну підстановку індексів:
.
Наприклад, компонента буде відповідати елементу матриці .
Використовуючи ті ж підстановки індексів, можна записувати симетричні тензори 2 рангу у вигляді 6 векторів. При такому поданні результат множення тензорів, взагалі кажучи, не відповідають результату множення матриць. Для того, щоб операція тензорного множення могла бути записана у вигляді множення матриць, може знадобитися введення додаткових множників.
Той факт, що тензор пружності має щонайбільше 21 незалежну копоненту дозволяє записати закон Гука в простішій формі з використанням матриць 6х6.
При цьому вводяться такі позначення:
для i = 1,2,3. , , .
Матричний запис закону Гука
Тоді матриця жорсткості визначається за допомогою співвідношення
Матриця жорсткості симетрична ,
а тому здебільшого її зображають в трикутній формі
Такий загальний вигляд матриця жорсткості має для кристалів найнижчої симетрії. Для кристалів високої симетрії матриця жорсткості має менше незалежних елементів і її вигляд спрощується. Наприклад, для ізотропного середовища залишається лише два незалежних елементи.
Матриця жорсткості для різних сингоній
Триклінна сингонія Матриця жорсткості має загальний вигляд із 21-м незалежним елементом.
Моноклінна сингонія Тринадцять незалежних пружніх сталих
Ромбічна сингонія 9 незалежних елементів
Тетрагональна сингонія Кристалічні класи 4, , 4/m мають матрицю жорсткості з 7-ма незалежними модулями пружності:
Кристалічні класи 422, 4mm, 2m, 4/mmm мають 6 незалежних елементів
Тригональна сингонія Кристалічні класи і 3 характеризуються 7-а незалежними модулями пружності
Кристалічні класи 32б 3m та m характеризуються 6-ма незалежними модулями
Гексагональна сингонія Для гексагональної сингонії існує 5 незалежних елементів матриці пружності
Кубічна сингонія Три незалежних модулі пружності
Ізотропне середовище Два незалежних модулі пружності
Джерела