У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта.

Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим.

Цілі навчання: Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами.

Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, коли вони найімовірніше розірвуться?

внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення.

Статика

Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове.

Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти).

Ви давите горизонтально з силою на ящик масою , який спирається на вертикальну стіну, як показано на Зображенні 6.1. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить . Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?

Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил, це:

- горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. , вага ящика, з величиною . - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до . , вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше , оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на Зображенні 6.2, разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку або .

Компонента другого закону Ньютона: це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, . Компонента другого закону Ньютона: Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку , і, таким чином, повинні компенсувати одна одну.

Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме , і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме , оскільки і мають однакову величину (з компоненти другого закону Ньютона). Крім того, оскільки , ми можемо записати: що надає нам умову , і, отже, мінімальну величину , потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз.

Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, . Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки ); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили , нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика.

Обговорення: Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки:

Розмірність - це сила. Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. Якщо коефіцієнт статичного тертя, , збільшується, не потрібно так сильно тиснути.

Лінійний рух

Рух об’єкта, вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок, можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На Зображенні 6.3 наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно.

Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню).

Блок маси розміщується на нахилі, що утворює кут з горизонталлю, як показано на Зображенні 6.4. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею.

Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить , а між блоком і горизонтальною поверхнею — . Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані від нижнього кінця нахилу, як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?

Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона.

Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що:

Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань із відомим прискоренням. Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу.

Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є:

, вага блока. , сила нормальної реакції, з якою діє нахил. , сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану .

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на Зображенні 6.5. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, , на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі , паралельний прискоренню.

Виписуємо компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку (): де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, . Компоненту другого закону Ньютона можна записати як: де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти , щоб знайти прискорення вздовж нахилу: Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі рівним нулю там, де блок почав рух (), тож блок знаходиться в позиції у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, , враховуючи, що початкова швидкість : Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це:

, його вага. , сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі. , сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану .

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на Зображенні 6.6, де ми зобразили вектор прискорення, , з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат так, щоб вісь була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку (і прискорення у від’ємному напрямку ).

Виписуємо компоненту другого закону Ньютона: де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що є додатним числом, оскільки є додатним і також є додатним (це величина сили нормальної реакції). є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку , коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента прискорення дорівнює , а вектор задається як .

Компонента другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: яку ми можемо підставити назад у рівняння і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі внизу нахилу (), прискорення від’ємне , кінцева швидкість дорівнює нулю, , а початкова швидкість, , задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: Обговорення: модель відстані , на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки:

Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення матиме ту ж розмірність, що і . Якщо ми зробимо більшим, то буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться). Якщо ми зробимо більшим, то буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо ), буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). Якщо ми збільшимо , чисельник буде більшим, тому збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше).

Подарунок розміщується на похилій площині на відстані від нижньої частини нахилу, подібно до Прикладу вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість . Якщо коробку замість цього відпустити з відстані від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?

залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею.

Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил