Кінематичні змінні Мандельштама — три скалярні релятивістські інваріантні величини, що зберігаються в процесі розсіяння двох елементарних частинок з утворенням двох нових або збереженням двох старих елементарних частинок, або в процесі розпаду однієї елементарної частинки на три. Зазвичай ці змінні позначаються як . Їх було введено Стенлі Мандельштамом у 1958 році. Процес розсіяння можна повністю описати, якщо задати значення лише двох змінних Мандельштама, кожна із них дорівнюватиме квадрату повної енергії котроїсь із пар частинок у системі відліку, де їх центр мас перебуває в спокої.
Визначення Розглядається процес розсіяння двох елементарних частинок з векторами енергії-імпульсу і утворенням після взаємодії двох нових чи збереження двох старих елементарних частинок з векторами енергії-імпульсу . Залежність між енергією і масою мають вигляд: ,
де — метричний тензор.
У метриці Мінковського з сигнатурою (1, -1,-1,-1) ,
або ж в релятивістських одиницях : .
Тут — тривимірний імппульс i-тої частинки.
Тут — індекс елементарної частинки. Збереження кожної компоненти енергії-імпульсу представляється рівнянням: . Із цієї рівності можна отримати три змінних Мандельштама в релятивістських одиницях:
Властивості Змінні Мандельштама пов'язані рівністю: .
Для доведення використаємо дві інші рівності: Квадрати 4-імпульсів дорівнюють квадратам мас:
Збереження 4-імпульсу:
Таким чином:
Просумувавши і підставивши квадрати мас:
Останні чотири доданки дорівнюють нулю в силу збереження 4-імпульсу:
Отже: {| cellpadding="2" style="border:20px solid #ccccff"
Діаграми Фейнмана Літери також використовуються в означенні каналів розсіяння -канал (просторовий канал), -канал (часовий канал), -канал. Ці канали відповідають різним діаграмам Фейнмана чи різним можливим типам розсіяння, в якому взаємодія відбувається завдяки обміну проміжними (іноді їх називають віртуальними) частинками, чиї квадрати 4-імпульсів дорівнюють , відповідно. {|style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;" !width = 220| !width = 220| !width = 220| |- |-канал |-канал |-канал
Наприклад, -канал відповідає розсіянню, в якому частинки 1 і 2 об'єднуються у проміжну частинку, яка врешті розпадається на частинки 3, 4: -канал є єдиним способом виявити резонанси і нові нестабільні частинки за умови, що їхній час життя є достатньо довгим для прямого детектування. -канал відповідає процесу, в якому частинка 1 випромінює проміжну частинку і стає в кінці частинкою 3, в той час як частинка 2 поглинає цю проміжну частинку і стає частинкою 4. -канал — це -канал, у якому частинки 3 і 4 помінялися місцями.
Примітки
Література Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с. Perkins, Donald H. (2000). Introduction to High Energy Physics (4th ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-62196-8.