Симплексний метод планування експериментів
Загальний опис У практиці часто доводиться вирішувати завдання оптимізації складу багатокомпонентної суміші — наприклад, визначення оптимального гранулометричного складу вихідної сировини збагачувальних апаратів, складу композиційних реагентів в ряді технологічних процесів і т. ін.
У цих випадках застосуємо метод активного планування експерименту для дослідження систем склад-властивість. Так як сума часток всіх компонентів, що складають суміш, дорівнює одиниці, то факторний простір може бути представлено правильним симплексом, для трьох компонентів правильним трикутником, для чотирьох — правильним тетраедром і т. д. Властивості складу досліджуються в наперед заданих точках симплекса, які утворюють так звану симплексну решітку.
Техніка планування експерименту У разі трикомпонентної суміші кожній точці трикутної діаграми відповідає один, цілком певний склад, а кожному складу відповідає одна точка на діаграмі. У кожній вершині трикутної діаграми вміст одного компонента становить 100 %. На протилежній цій вершині стороні вміст цього компонента дорівнює нулю. Сторони трикутника відповідають бінарним сумішам (див. рис.1).
Симплекс-гратчасте планування експериментів. Пропорції суміші можуть бути представлені трикутними діаграмами. При цьому сам план експерименту залежить від вибору розташування точок варіативних факторів. Одним зі зручних способів їх розташування є симплекс-центроїдний план. Наприклад, для 3-х факторів симплекс-центроїдний план складається з точок (вершини, центри сторін, центр трикутника). Властивості складу суміші досліджуються в наперед заданих точках симплекса, які утворюють так звану симплексну ґратку.
Розглянемо побудову концентраційного трикутника Гіббса, використовуваного при розробці та аналізі плану експерименту. З кожної вершини правильного трикутного симплекса проведемо висоту, розділимо кожну з них, наприклад, на десять частин і, провівши через отримані ділення прямі, паралельні відповідним сторонам трикутника, отримаємо трикутну сітку (див. рис. 2). Відлік ведемо від точок перетину висот і сторін трикутника. Кожна точка, що лежить в межах трикутного симплекса характеризується трьома координатами (вмістом компонентів А, В і С). Наприклад, точці а на рис. 2 відповідає такий вміст компонентів: А = 0,2; В = 0,5; С = 0,3.
Як правило, поверхні відгуку в багатокомпонентних системах мають вельми складний характер. Для адекватного опису таких поверхонь використовують поліноми високих ступенів. У разі трикомпонентних систем найбільш часто застосовуються плани другого і третього порядку, з розробкою квадратних і кубічних моделей відповідно. Розташування дослідів на симплексі для цих моделей представлено на рис. 3.
Представлення результатів експерименту На рис. 4 а. представлений первісний контурний графік поверхні відгуку у вигляді контурних ліній рівних значень проєкцій цільової функції Р на трикомпонентний симплекс. Разом з тим його можна одержати і як сукупність забарвлених зон, які відповідають певному інтервалу зміни цільової функції (див. рис. 4 б). Чорною крапкою на обох контурних графіках позначено оптимальне співвідношення варіюючих величин, що забезпечує максимальне значення функції відгуку.
Див. також
Планування експерименту
Література Сергєєв П. В., Білецький В. С. Комп'ютерне моделювання технологічних процесів переробки корисних копалин (практикум) — Маріуполь: Східний видавничий дім, 2016. — 119 с. ISBN 978—966 — 317—258– 3 Зедгинидзе И. Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем. — М.: Наука, 1976. — 296 с. Красовский Г. И., Филаретов Г. Ф. Планирование эксперимента. — Минск: Изд-во БГУ, 1982. — 302 с. Design DB : A database of combinatorial, statistical, experimental block designs Introduction to Factorial Experimental Designs (The Methodology Center, Penn State University) Володимир Білецький. СИМПЛЕКС-ЦЕНТРОЇДНЕ ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТІВ ДЛЯ ОТРИМАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ СУМІШЕЙ ТИПУ «СКЛАД-ВЛАСТИВІСТЬ» // ДОНЕЦЬКИЙ ВІСНИК НАУКОВОГО ТОВАРИСТВА ІМ. ШЕВЧЕНКА. — Т. 54. — ХАРКІВ-ЗАПОРІЖЖЯ, 2025. — 177 С. С. 136—145.