Ге́орг Фердина́нд Лю́двіг Філіпп Ка́нтор (; , Санкт-Петербург — 6 січня 1918, Галле (Заале)) — німецький математик, ініціатор створення Міжнародного конгресу математиків.
Вчився в Дармштадті, Федеральній вищій технічній школі в Цюриху, університеті в Геттінгені і захистив дисертацію в університеті Берліна. Його вчителями були Карл Веєрштрас, Ернст Едуард Куммер і Леопольд Кронекер. Член Геттінгенської академії наук.
У 1879—1913 роках займав кафедру математики в університеті в Галле. У 1890 році брав участь у заснуванні Німецького математичного товариства і став його першим президентом. Основоположник теорії множин, зробив великий внесок у сучасну математику. Йому належить така характеристика поняття «множина»: це об'єднання певних, різних об'єктів, званих елементами множини, у єдине ціле.
Уперше визначив порівняння довільних множин, також і нескінченних, за їхньою «потужністю» (узагальнення поняття кількості) через поняття взаємно-однозначної відповідності між множинами. Він класифікував множини за їхньою потужністю, визначив поняття кардинальних і порядкових чисел, арифметику кардинальних і порядкових чисел.
Теорію Кантора про трансфінітні числа спочатку сприйнято як порушення багатовікових традицій, закладених ще давніми греками, які заперечують актуальну нескінченність як легальний математичний об'єкт. Згодом канторівську теорію множин поставлено на аксіоматичну основу і вона стала наріжним каменем сучасної побудови основ математики, на неї спираються математичний аналіз, топологія, функціональний аналіз, теорія міри та багато інших розділів математики.
Життєпис
Ранні роки та навчання
Народився 3 березня 1845 року в Західній колонії торговців у Санкт-Петербурзі і зростав там до одинадцятирічного віку. Батько — Георг-Вольдемар Кантор (1814, Копенгаген — 1863, Франкфурт) — походив із португальських євреїв, які осіли в Амстердамі, данський підданий лютеранського віросповідання, маклер . У Петербурзі вже давно жило багато родичів батька, починаючи з прадіда. Двоюрідний брат батька — відомий російський юрист-цивіліст . У російських документах Георг-Вольдемар Кантор називався Єгором Яковичем Кантором. Мати — Марія-Анна Бем (1819, Санкт-Петербург — 1896, Берлін) — племінниця відомого австрійського скрипаля Йозефа Бема. Дід математика з боку матері, Франц Бем (1788—1846), та його син Людвіг (чоловік художниці Єлизавети Бем) теж були скрипалями. Від 1850 року в тому ж будинку (, будинок 24) на Васильєвському острові, де жила родина Канторів, оселився 29-річний Пафнутій Чебишов.
Сім'я Кантора була лютеранського віросповідання, хоча його мати виросла католичкою. Георг був первістком, старшим із шести дітей. Він віртуозно грав на скрипці, успадкувавши від своїх батьків значні мистецькі та музичні таланти. У 1851 році батько писав про сина:Він обдарований від природи прагненням до порядку, що переважає над усім іншим.У 1853 році Георг вступив у . Коли батько захворів, сім'я, сподіваючись на м'якший клімат, у 1856 році переїхала до Німеччини: спочатку до Вісбадена, а потім до Франкфурта.
У 1860 році закінчив із відзнакою реальне училище в Дармштадті; вчителі відзначали його виняткові здібності до математики, зокрема до тригонометрії. У 1862-му вступив до Федерального політехнічного інституту в Цюриху. За рік помер його батько; отримавши солідну спадщину, Георг перевівся в Берлінський університет імені Гумбольдта, де почав відвідувати лекції Леопольда Кронекера, Карла Вейєрштрасса і Ернсат Куммера. Літо 1866 року провів у Геттінгенському університеті — найбільшому центрі математичної думки тих часів. У 1867 році Берлінський університет надав йому ступінь доктора філософії за роботу з теорії чисел «» (Про рівняння другого ступеня з невизначеними коефіцієнтами).
Початок наукової діяльності (1869—1878)
Після нетривалої роботи викладачем у Берлінській школі для дівчаток Кантор улаштувався в Галльському університеті Мартіна Лютера, де й пройшла вся його кар'єра. Необхідну для викладання габілітацію він отримав за свою дисертацію з теорії чисел. У 1872 році познайомився з Ріхардом Дедекіндом, який став його близьким другом і однодумцем. Багато ідей Кантора обговорювано в листуванні з Дедекіндом.
У статті 1872 року дав варіант обґрунтування теорії дійсних чисел. У його моделі дійсне число визначається як клас фундаментальних послідовностей раціональних чисел. На відміну від загальноприйнятого ньютонівського визначення з «Універсальної арифметики», канторівський підхід був суто математичним, без посилань на геометрію та інші вимірювальні процедури. Іншу версію, також суто математичну, опублікував того ж року Дедекінд (вона заснована на «дедекіндових перерізах», див. ).
У 1874 році одружився з Валлі Гутман (). Вони мали шестеро дітей, чотири дочки та двоє синів, наймолодша донька народилася в 1886 році. Попри скромну академічну платню, Кантор мав змогу забезпечити сім'ї безбідне проживання завдяки отриманій від батька спадщині. Біографи зазначають, що навіть у період свого медового місяця в горах Гарца він багато часу проводив за математичними розмовами зі своїм другом Дедекіндом. Цього ж 1874 року опублікував у «Журналі Крелле» статтю, у якій увів поняття потужності множини і показав, що раціональних чисел стільки ж, скільки натуральних, а дійсних набагато більше (за порадою Карла Веєрштрасса цей революційний висновок у статті пом'якшено).
У 1872 році здобув звання позаштатного професора, а в 1879-му став повним професором. Здобути це звання у 34-річному віці було значним досягненням, але Кантор мріяв про посаду в престижнішому університеті, наприклад, Берлінському — на той час провідному університеті Німеччини, проте його теорії зустріли серйозну критику, і перейти в інше місце не вдалося.
У 1877 році отримав разючий результат, який повідомив у листі Дедекінду: множини точок відрізка і точок квадрата мають однакову потужність (континуум), незалежно від довжини відрізка Й ширини квадрата. Водночас він сформулював і безуспішно намагався довести «континуум-гіпотезу». Перша стаття Кантора з викладом цих ключових результатів, що з'явилася в 1878 році, мала назву «До вчення про многовиди» (термін «многовид» Кантор пізніше замінив на «множина»). Публікація статті неодноразово відкладалася на вимогу обуреного Леопольда Кронекера, який очолював кафедру математики Берлінського університету. Кронекер, якого вважають предтечею конструктивної математики, вороже ставився до канторівської теорії множин, оскільки доведення в ній нерідко мають неконструктивний характер, без побудови конкретних прикладів; поняття актуальної нескінченності він вважав абсурдним.
Кантор зрозумів, що позиція Кронекера не дозволить йому навіть піти з Галльського університету. Сам Кантор дотримувався тієї ж думки, що й більшість сучасних нам математиків: будь-який несуперечливий математичний об'єкт слід вважати допустимим і існуючим.
Конфлікти навколо теорії множин (1878—1889) Канторівська теорія множин зазнала різкої критики з боку низки відомих математиків-сучасників — Анрі Пуанкаре, а пізніше — Германа Вейля і Лейтзена Брауера (див. ). Вони нагадували, що до Кантора всі корифеї математики, від Арістотеля до Карла Гаусса, вважали актуальну нескінченність неприпустимим науковим поняттям. Становище посилило виявлення в першій версії теорії множин згубних протиріч. Часом критика була дуже агресивна: так, Пуанкаре називав «канторизм» тяжкою хворобою, яка вразила математичну науку, і висловлював надію, що майбутні покоління від неї вилікуються, а в публічних заявах і особистих випадах Кронекера на адресу Кантора миготіли іноді такі епітети, як «науковий шарлатан», «відступник» і «спокусник молоді».
Різкій критиці з боку частини відомих математиків протистояли всесвітня популярність і схвалення іншими. У 1904 році Лондонське королівське суспільство присудило Кантору свою вищу математичну нагороду — медаль Сильвестра. Сам він вірив у те, що теорію трансфінітних чисел йому повідомлено з неба. Бертран Расселл оцінив теорію множин як «один із головних успіхів нашої епохи», а Давид Гільберт назвав Кантора «математичним генієм» і заявив:Ніхто не зможе вигнати нас із раю, створеного Кантором.У 1881 році помер колега Кантора Едуард Гейне, залишивши після себе вакантну посаду. Керівництво університету прийняло пропозицію Кантора запросити на цю посаду Ріхарда Дедекінда, або (саме в такому порядку), але, на превеликий жаль Кантора, усі вони відмовилися, і посаду зайняв . У 1882 році спілкування Кантора з Дедекіндом припинилося — імовірно, внаслідок образи на відмову останнього від посади в Галле.
У 1883 році Кантор опублікував ключову у своїй творчості статтю «Основи загального вчення про многовиди». У цей час він почав активне листування з видатним тогочасним математиком Йостою Міттаг-Леффлером, який жив у Швеції, і невдовзі почав публікуватися в його журналі «Acta Mathematica». Однак у 1885 році Міттаг-Леффлер стривожився щодо філософського підтексту і нової термінології в одній статті, яку Кантор надіслав йому для друку, і попросив Кантора відкликати свою статтю, поки та ще проходила коректуру, написавши, що ця стаття «випередила час приблизно років на сто». Відкликати статтю Кантор погодився, але в «Acta Mathematica» ніколи більше не публікувався і різко обірвав стосунки й листування з Міттаг-Леффлером. У нього почався перший період депресії, і протягом більш ніж п'яти років Кантор нічого не публікував, окрім кількох статей філософського плану, обмежуючись викладацькою діяльністю.
Останні роки (1889—1918)
Незабаром після відновлення (1889) Кантор зробив кілька важливих доповнень до своєї теорії — зокрема, довів діагональним методом незліченність множини всіх підмножин натуральних чисел, проте так і не досяг того високого рівня продуктивності, який у нього був протягом 1874—1884 років. Зрештою, він звернувся з пропозицією про мир до Кронекера, яку той прихильно прийняв. Тим не менш, філософські розбіжності, що розділяли їх, і труднощі залишилися. Тим часом частина математиків, особливо молоді, прийняли теорію множин, стали її розвивати й застосовувати для розв'язання різноманітних задач. Серед них — Дедекінд, Гільберт, Фелікс Бернштейн, Анрі Лебег, Фелікс Кляйн, Адольф Гурвіц, Ернст Цермело, Микола Лузін та інші.
У 1890 році Кантор сприяв організації Німецького математичного товариства (), а в 1891-му головував на його першому з'їзді в Галле; тоді його репутація була дуже стійка навіть попри опозицію Кронекера, як наслідок, Кантора обрано першим президентом товариства. Він запросив Кронекера виступити з доповіддю, але той не зміг прийняти пропозицію через трагічну загибель своєї дружини.
У періодично повторюваних від 1884 року і до кінця днів Кантора нападах депресії деякий час звинувачували його сучасників, які зайняли надто агресивну позицію, але нині вважається, що ці напади, найімовірніше, були розвитком душевної хвороби.
У статті 1892 року вперше з'явився знаменитий діагональний метод Кантора. Останньою працею, своєрідним заповітом вченого, стала стаття «До обґрунтування вчення про трансфінітні множини» (у двох частинах, 1895—1897). Це одна з найвідоміших праць Кантора, у ній, на додаток до попередніх результатів теорії множин, будується ієрархія алефів.
У 1897 році почалося інтенсивне листування Кантора з Давидом Гільбертом із приводу першого виявленого в теорії множин протиріччя — парадоксу Буралі-Форті, який вкрай стурбував Гільберта. Кантор висловив думку, що в теорії множин слід розрізняти два типи понять — трансфінітні й («недоступні», як він висловився), з них лише перші піддаються людському розуму, а щодо других можливе лише наближення до їх розуміння. Гільберта ця метафізика не переконала: на його думку, нерозв'язних математичних задач немає і не може бути. Безрезультатна дискусія тривала два роки. Розв'язок парадоксів (який не став, утім, загальноприйнятим) знайдено лише за 30 років, після заміни «наївної теорії множин» Кантора аксіоматичною, яка виключила «недоступні» множини з числа допустимих понять.