Коваріантна похідна — узагальнення поняття похідної для тензорних полів на многовидах. Поняття коваріантної похідної тісно пов'язане з поняттям афінної зв'язності.
Коваріантна похідна тензорного поля у напрямку дотичного вектора зазвичай позначається .
Мотивація Поняття коваріантної похідної дозволяє визначити диференціювання тензорних полів у напрямку дотичного вектора будь-якого многовиду. Подібно до похідної за напрямком, коваріантна похідна в якості аргументів приймає: (1) вектор , визначений в якійсь точці , і (2) векторне поле , визначене в околі . Результатом є вектор , так само визначений в . Основна відмінність від похідної за напрямком полягає в тому, що повинна не залежати від вибору системи координат.
Будь-вектор може бути представлений як набір чисел, що залежить від вибору базису. Вектор як геометричний об'єкт не змінюється при зміні базису, в той час як компоненти його координатного представлення змінюються відповідно до коваріантного перетворення, залежного від перетворення базису. Коваріантна похідна повинна підкорятися цьому ж коваріантному перетворенню.
У разі евклідового простору похідна векторного поля часто визначається як границя різниці двох векторів, визначених у двох прилеглих точках. У цьому випадку один з векторів можна перемістити в початок іншого вектора за допомогою паралельного перенесення, і потім зробити віднімання. Таким чином, найпростішим прикладом коваріантної похідної є покомпонентне диференціювання в ортонормованій системі координат.
У загальному ж випадку необхідно врахувати зміну базисних векторів при паралельному перенесенні. Приклад: коваріантна похідна, записана в полярних координатах двомірного евклідового простору, містить додаткові складові, які описують «обертання» самої системи координат при паралельному перенесенні. В інших випадках формула коваріантної похідної може включати в себе члени, що відповідають стисненню, розтягуванню, крученню, переплетенню і іншим перетворенням довільної криволінійної системи координат.
Як приклад, розглянемо криву , визначену на евклідовій площині. У полярних координатах крива може бути виражена через полярні кут і радіус . У довільний момент часу радіус-вектор може бути представлений через пару , де і — одиничні вектори, дотичні до полярної системи координат, які утворюють базис, що служить для розкладання вектора на радіальну і дотичну компоненти. При зміні параметра виникає новий базис, який є ні чим іншим як повернутим старим базисом. Дане перетворення виражається як коваріантна похідна базисних векторів, теж відоме як символи Крістофеля.
У криволінійному просторі, яким є, наприклад, поверхня Землі, не визначений однозначне паралельне перенесення, а відповідна операція паралельного перенесення вектора з однієї точки в іншу залежить від вибору траєкторії. Дійсно, уявімо вектор , визначений в точці (що лежить на екваторі), і спрямований до північного полюса. Використовуючи паралельне перенесення, спершу перемістимо вектор уздовж екватора, не змінюючи його напрямку, потім піднімемо уздовж будь-якого меридіана до північного полюсу, і опустимо назад до екватора вздовж іншого меридіана. Очевидно, що таке переміщення вектора уздовж замкнутого шляху на сфері змінить його орієнтацію. Подібний феномен викликаний кривиною поверхні глобуса і не спостерігається в евклідовому просторі. Він виникає на многовидах при переміщенні вектора уздовж будь-якого (навіть нескінченно малого) замкнутого контуру, що включає в себе рух уздовж як мінімум двох різних напрямків. В такому випадку межа інфінітезимального збільшення вектора є мірою кривини многовиду.
Означення Коваріантна похідна задається такими властивостями:
Коваріантна похідна від скалярного поля є похідною за напрямком .
Коваріантна похідна від векторного поля (тобто тензора типу (1, 0)) є звичайною афінно зв'язністю. Конкретний вибір зв'язності визначає і вибір коваріантної похідної оскільки цей вибір повністю визначає коваріантну похідну для інших типів тензорних полів.
Для довільної 1-форми коваріантна похідна визначається як: де є визначене, як вище. (правило Лейбніца) Для довільних тензорних полів S і T, виконується
У явному виді, якщо T є тензорним полем типу і α1, α2, ..., αq є гладкими кодотичними векторними полями (диференціальними 1-формами), а Y1, Y2, ..., Yp є гладкими векторними полями тоді rоваріантна похідна T по напрямку X є тензорним полем того ж типу, що задається як
Важливим частковим випадком є тензори типу , де q > 0. Для таких тензорів:
де є тензорним полем типу зі значеннями у лінійних відображеннях відповідних дотичних просторів. Для такого типу із загальної формули і виразу через одержується:
Зважаючи, що це виконується для всіх 1-форм часто використовують позначення і тоді за означенням:
Найчастіше подібний запис використовується для тензора кривини, який можна розглядати, як тензорне поле типу або тензорне поле типу зі значеннями у множині лінійних відображень
Тотальна коваріантна похідна Тотальною коваріантною похідною називається оператор , що відображає тензорне поле типу у тензорне поле типу . Він задається як:
Найпоширенішим є випадок векторного поля (що є тензорним полем типу (1, 0)). Тоді є тенорним полем типу (1, 1) тобто полем лінійних відображень, що задаються як По іншому це можна записати, як те, що для 1-форми і векторного поля значення тензора
Література