У теорії міри Теоремою Фубіні, Теоремою Тонеллі, Теоремою Тонеллі — Фубіні називається ряд пов'язаних тверджень, що зводять обчислення подвійного інтеграла на добутку мір до обчислення повторних інтегралів. Також термін теорема Фубіні використовуються для різних теорем математичного аналізу про рівність подвійних і повторних інтегралів, які по-суті є частковими випадками загальних тверджень.
Теореми названі на честь італійських математиків Гвідо Фубіні і Леоніда Тонеллі.
Формулювання
Теорема Фубіні Нехай — два простори з сигма-скінченною мірою, а — їх добуток мір. Нехай функція інтегровна щодо міри , тобто вимірна і також . Тоді функція визначена майже скрізь і інтегровна щодо ; функція визначена майже скрізь і інтегровна щодо ; і також виконуються рівності
Теорема Тонеллі Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція є вимірною і невід'ємною. Тоді функція визначена і інтегровна щодо ; функція визначена і інтегровна щодо ; і також виконуються рівності
Теорема Тонеллі — Фубіні Об'єднуючи результати двох попередніх теорем можна також отримати ще один пов'язаний результат.
Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція є вимірною і якийсь з інтегралів
є скінченним. Тоді
Формулювання в теорії ймовірностей В термінах теорії ймовірностей твердження теореми Фубіні можна подати так. Нехай — ймовірнісні простори, і — випадкова величина на . Тоді
де індекс позначає ймовірнісну міру, щодо якої береться математичне очікування.
Доведення теореми Фубіні Нижче наведено доведення рівності та існування першого інтегралу. Рівність для іншого повторного інтеграла і відповідно рівність між самими повторними інтегралами доводиться аналогічно.
Розглянемо спочатку випадок невід'ємної вимірної функції f визначеної на . Для множини проста функція задовольняє рівність:
де — перетин вздовж , а для довільної функції g визначеної на позначення позначає функцію-переріз визначену на Y, як
З означень інтегралів, характеристичних функцій, добутків мір, а також попередньої рівності отримуємо:
Це разом із лінійністю інтегралів доводить твердження для простих невід'ємних вимірних функцій.
Для довільної невід'ємної вимірної функції f існує послідовність неспадних простих вимірних функцій, що поточково збігаються до f. Для довільного
послідовність є неспадною послідовністю простих вимірних функцій, що поточково сходяться до функції Згідно теореми Леві про монотонну збіжність:
Також зважаючи, що функції — прості, то з попереднього
Послідовність функцій є неспадною послідовністю невід'ємних - вимірних функцій і згідно теореми Леві про монотонну збіжність їх поточкова границя рівна і теж є - вимірною функцією. Зважаючи на ці властивості за допомогою повторного застосування теореми Леві про монотонну збіжність отримуємо рівність:
яка завершує доведення для випадку невід'ємної вимірної функції f. Внутрішній інтеграл є скінченним майже скрізь оскільки в іншому випадку загальний вираз не міг би бути скінченним.
Для довільної вимірної функції f, що задовольняє умови теореми її можна записати як де — невід'ємні вимірні функції для яких також і
Справедливість теореми Фубіні для загального випадку є таким чином наслідком теореми для випадку невід'ємних функцій і лінійності інтегралів.
Математичний аналіз Теормін теорема Фубіні часто використовується в математичному аналізі для тверджень про рівність між двовимірними і повторними інтегралами, хоча ці результати були відомі задовго до Фубіні і Тонеллі.
У найпростішому випадку твердження можна подати так. Нехай — функція двох дійсних змінних, інтегровна за Ріманом на прямокутнику , тобто . Тоді
де інтеграл у лівій стороні двовимірний, а інші повторні одновимірні.
Доведення
Будь-яке розбиття множини отримується деякими розбиттями відрізка і відрізка , при цьому площа кожного прямокутника визначається як , де ? деякі відрізки розбиттів.
Тоді можна дати оцінку для інтеграла
і нижніх і верхніх інтегральних сум функції и :
При інтегровності на , тобто рівності інтеграл також існує і має таке ж значення, як і
Приклади необхідності умов теореми
Функції з нескінченним інтегралом Розглянемо функцію Для неї не виконується вимога скінченності інтегралу:
Твердження теореми Фубіні для цієї функції не буде справедливим оскільки:
але
Добуток не сигма-скінченних мір Розглянемо добуток двох множин .На першій задамо звичайну міру Лебега а на іншій — лічильну міру на алгебрі всіх підмножин інтервалу. Лічильна міра не є сигма-скінченною.
Якщо позначити — діагональ, то характеристична функція 1Δ є вимірною.
Для повторних інтегралів маємо : і :
Дані інтеграли відрізняються оскільки один з вимірних просторів не є сигма-скінченним.
Див. також Добуток мір
Джерела