Регулярне локальне кільце — нетерове локальне кільце, таке що число твірних його максимального ідеалу збігається з розмірністю Круля кільця. Назва регулярне пояснюється геометричними причинами. Точка алгебраїчного многовида є неособливою (регулярною) тоді і тільки тоді, коли локальне кільце ростків раціональних функцій в точці є регулярним.

Визначення

Регулярні локальні кільця Існує кілька еквівалентних визначень регулярного локального кільця. Зокрема, якщо  — нетерове локальне кільце з максимальним ідеалом , такі визначення еквівалентні: Нехай де вибрано настільки малим, наскільки це можливо (в будь-якому випадку, n не може бути меншим розмірності Круля). є регулярним, якщо

Нехай  — поле лишків кільця . Тоді є регулярним, якщо , Тут перша розмірність  — розмірність векторного простору, а друга  — розмірність Круля. Нехай  — глобальна розмірність (тобто супремум проективних розмірностей всіх -модулів.) Тоді є регулярним, якщо , У цьому випадку завжди збігається з розмірністю Круля.

Множина твірних максимального ідеалу кількість елементів якої рівна розмірності Круля називається регулярною системою твірних.

Регулярні кільця Кільце A називається регулярним, якщо його локалізація по довільному простому ідеалу  — регулярне локальне кільце.

Інше нееквівалентне означення регулярного кільця дав Серр. Згідно цього означення комутативне кільце називається регулярним, якщо воно має скінченну глобальну розмірність. Регулярне в сенсі Серра кільце є регулярним але не обов'язково навпаки.

Приклади Будь-яке поле  — регулярне локальне кільце. Насправді, поля  — це всі регулярні локальні кільця розмірності 0. Регулярні локальні кільця розмірності 1  — це кільця дискретного нормування. Зокрема, кільце формальних степеневих рядів (k  — довільне поле) є регулярним локальним кільцем. Інший приклад  — кільце p-адичних чисел. Більш загально, кільце формальних степеневих рядів — регулярне локальне кільце розмірності d . Всі кільця Дедекінда є регулярними. Нехай R — локалізація кільця де k  — поле по максимальному ідеалу Тоді R не є регулярним локальним кільцем. У цьому випадку оскільки а не є дільником нуля у кільці Натомість є мінімальною породжуючою множиною.

Властивості Теорема Аусландера — Бухсбаума стверджує, що кожне регулярне локальне кільце є факторіальним кільцем. Якщо  — повне регулярне локальне кільце, що містить деяке поле, то , де , а  — розмірність Круля. Це твердження є найважливішим частковим випадком структурної теореми Коена, що описує будову усіх повних регулярних кілець. Асоційоване градуйоване кільце є ізоморфним кільцю многочленів де Регулярне локальне кільце є областю цілісності. Якщо A  — регулярне кільце, то кільце многочленів і кільце формальних степеневих рядів є регулярними. Будь-яка локалізація регулярного кільця є регулярним кільцем. Наприклад,  — двовимірне регулярне кільце, яке не містить ніякого поля. Поповнення регулярного кільця є регулярним. Нехай A — регулярне локальне кільце і  — його простий ідеал. Кільце є регулярним локальним кільцем тоді і тільки тоді коли ідеал породжується деякою підмножиною системи регулярних твірних. Якщо кількість цих елементів рівна t, а розмірність A рівна n то розмірність рівна n — t.

Застосування в алгебраїчній геометрії Визначення регулярного локального кільця було дано Вольфгангом Крулем в 1937 році, проте вони стали відомими завдяки роботам Оскара Зариського, який довів що регулярні локальні кільця відповідають гладким точкам алгебраїчних многовидів.

Нехай Y  — алгебраїчний многовид, що міститься в n-вимірному афінному просторі над досконалим полем, і визначається як множина загальних нулів многочленів (від n змінних) f1,…,fm. Y є особливим у точці P, якщо ранг матриці Якобі (матриці (∂fi/∂xj)) в цій точці є меншим, ніж в іншій точці многовида. Розмірність многовида дорівнює різниці n і рангу матриці Якобі в неособливих точках. Зариський довів, що матриця Якобі в точці P є неособливою тоді і тільки тоді, коли локальне кільце многовида Y в P є регулярним. Зариський також зауважив, що це не обов'язково вірно для недосконалих полів.) З цього випливає, що гладкість є внутрішньою властивістю многовида, тобто не залежить від конкретного вкладення многовида в афінний простір.

Див. також Локальне кільце Розмірність Круля Структурна теорема Коена

Посилання Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії

Примітки

Література

Jean-Pierre Serre , Local algebra, Springer-Verlag, 2000.  — ISBN 3-540-66641-9. Chapter IV.D.