Правильний ікосаедр

Правильний ікосаедр Натисніть тут, щоб подивитися обертання моделіТипПравильний многогранник, дельтаедрВластивостіОпуклий, рівносторонній,однорідний, вершинно-транзитивний, гране-транзитивнийКомбінаторикаЕлементи20 граней ({3}); 30 ребер; 12 вершин (5-го степеня).Грані20 Правильних трикутниківХарактеристика ЕйлераКонфігурація вершини3.3.3.3.3 = 35 Кожна вершина оточена 5 трикутниками.Вершинна фігураПравильний п'ятикутник з довжиною сторони КласифікаціяПозначення• I або sT (в ) • I5 (в нотації Стюарта) • U22 (як однорідний многогранник) • C25 (в нотації Г. Коксетера) • W4 (в нотації М. Веннінґера)Символ ШлефліСимвол Вітгоффа5 | 2 3Діаграма Коксетера-Динкіна або (o5o3x)Діаграма ШлегеляГрупа симетріїIh, H3, [5,3], (*532), порядок 120 (Повна симетрія правильного ікосаедра)Група обертаньI, [5,3]+, (532), порядок 60Двоїстий многогранникПравильний додекаедр Розгортка

Правильний ікоса́едр (від , «двадцять» і , «грань», «лице», «основа») — правильний опуклий двадцятигранник, об'ємна геометрична фігура, поверхня якої складена з двадцяти правильних трикутників, є одним з п'яти опуклих правильних многогранників (тіл Платона). Ікосаедр складений з 20 правильних трикутних граней.

Має 30 ребер однакової довжини та 12 вершин (у кожній сходяться 5 ребер).

Його символ Шлефлі — . Це означає, що кожна вершина оточена п'ятьма правильними трикутниками; або також це означає для многогранника, що його грань — правильний трикутник, а вершинна фігура — правильний п'ятикутник.

Оскільки всі грані правильного ікосаедра правильні трикутники, то цей многогранник є дельтаедром.

Правильний ікосаедр має 31 вісь обертової симетрії:

‒ 6 осей 5-го порядку — проходять через протилежні вершини; (поворот на 72°, 144°, 216° і 288° або , , , радіан);

‒ 10 осей 3-го порядку — проходять через центри протилежних граней; (поворот на 120° і 240° або і радіан);

‒ 15 осей 2-го порядку — проходять через середини протилежних паралельних ребер (поворот на 180° або радіан).

Правильний ікосаедр має 15 площин дзеркальної симетрії, що проходять через вершину та середину протилежного ребра для кожної грані.

Має центр симетрії (в ньому перетинаються всі осі та площини симетрії).

Сума плоских кутів при кожній з 12 вершин дорівнює 300°.

Правильний ікосаедр має 59 зірчастих форм.

Геометрія

Правильний ікосаедр з довжиною ребра можна отримати, наростивши правильну п'ятикутну антипризму з довжиною ребра двома правильними п'ятикутними пірамідами з довжиною ребра (що є многогранниками Джонсона J2). При цьому висота нарощених пірамід дорівнює

Таким чином правильний ікосаедр також можна назвати скрученою подовженою п'ятикутною біпірамідою. В цьому випадку він має діедричну симетрію 5-Антипризми (D5d[en], [2+,10], (2*5), порядок 20).

Многогранник Каталана (Триакісікосаедр)Зірчастий многогранник

Наростивши на всіх гранях правильного ікосаедра з довжиною ребра прямі трикутні піраміди, висотою , отримаємо напівправильний рівнокутний многогранник Каталана — триакісікосаедр.

Якщо висота нарощених пірамід буде дорівнювати , то отримаємо зірчастий многогранник, що є топологічно еквівалентним до триакісікосаедра і візуально схожий на великий зірчастий додекаедр (одне з тіл Кеплера — Пуансо).

Якщо на гранях правильного ікосаедра прямі трикутні піраміди, висотою , наростити в тіло многогранника (тобто фактично видалити з нього), то отримаємо зірчастий многогранник, що є топологічно еквівалентним до триакісікосаедра і візуально схожий на великий додекаедр (одне з тіл Кеплера — Пуансо).

Властивості Всі 12 вершин правильного ікосаедра лежать в чотирьох паралельних площинах.

Перерізом ікосаедра площиною, перпендикулярною до осей симетрії 5-го порядку (діагоналей правильного ікосаедра), може бути:

правильний п'ятикутник ; Найбільший за площею переріз у формі правильного п'ятикутника (проходить через п'ять вершин ікосаедра) ділить діагональ ікосаедра у співвідношенні правильний десятикутник (якщо площина проходить також через центр правильного ікосаедра; таких перерізів ікосаедр має 6) ; напівправильний рівнокутний десятикутник (має два типи ребер, що чергуються між собою).

Переріз правильного ікосаедра площиною, що проходить перпендикулярно до осі симетрії 3-го порядку паралельно до його грані і проходить через три вершини ікосаедра, має форму напівправильного рівностороннього шестикутника (з чергуванням двох типів вершин); якщо ця площина також проходить через центр ікосаедра, то переріз має форму напівправильного рівностороннього дванадцятикутника (з чергуванням двох типів вершин).

Правильний ікосаедр має 43 380 різних розгорток (так само як і правильний додекаедр). Це означає, що існує 43380 способів зробити із ікосаедра пласку розгортку, розрізавши 11 ребер. Інші 19 ребер з'єднують 20 рівносторонніх трикутників розгортки.

Для того, щоб зафарбувати правильний ікосаедр так, що сусідні грані не матимуть однакового кольору, необхідно принаймні три кольори.

Кількість способів розфарбувати правильний ікосаедр так, щоб всі грані мали різні кольори дорівнює = 40 548 366 802 944 000 : група кольорів є групою перестановок з 20 елементів і має розмір 20!, тоді як порядок чистої обертової симетрії правильного ікосаедра дорівнює 60 (половина від повної симетрії, тобто 120 елементів). Найбільш щільне пакування правильних ікосаедрів в просторі (тобто таке, що має найменші пустоти між ними) має щільність .

Зв'язок з правильним додекаедром

Правильний ікосаедр та правильний додекаедр є взаємно двоїстими многогранниками. Тобто центри граней правильного ікосаедра є вершинами правильного додекаедра, і навпаки, центри граней правильного додекаедра є вершинами правильного ікосаедра.

Якщо правильний ікосаедр має ребро довжиною 1, то його топологічно двоїстий додекаедр (вершини знаходяться в центрах граней початкового ікосаедра) має ребро довжиною , а канонічно двоїстий додекаедр (напіввписані сфери канонічно-двоїстої пари многогранників збігаються) має ребро довжиною .

Серед правильних многогранників як ікосаедр, так і додекаедр являють собою найкраще наближення до сфери. Ікосаедр має найбільше число граней, найбільший двогранний кут і найщільніше притискається до своєї вписаної сфери. З іншого боку, додекаедр має найменший кутовий дефект, найбільший тілесний кут при вершині і максимально заповнює свою описану сферу.

Якщо додекаедр вписано у сферу, то він займає 66.49 % об'єму сфери. А ікосаедр, вписаний у ту саму сферу, займає 60.54 % її об'єму.

Сфера, що вписана в ікосаедр, охоплює 89,635 % його об'єму порівняно з 75,47 % для додекаедра.

Об'єм правильного додекаедра з довжиною ребра  більш ніж у три з половиною рази більший за об'єм ікосаедра з такою самою довжиною ребер:

та .

Відношення об'ємів складає:

В правильний ікосаедр можна вписати правильний додекаедр таким чином, що всі 20 вершин додекаедра знаходитимуться в центрах граней ікосаедра. Правильний ікосаедр можна вписати в правильний додекаедр таким чином, що всі 12 вершин ікосаедраа будуть розташовані в центрах 12-ти граней додекаедра.

Зв'язок з іншими правильними многогранниками

В правильний ікосаедр може бути вписаний правильний тетраедр, притому чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами ікосаедра. У куб з довжиною ребра можна вписати правильний ікосаедр з довжиною ребра , так, що шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба і лежатимуть паралельно (або перпендикулярно) до ребер куба; решта 24 ребра лежатимуть всередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба.

Існує 5 різних способів вписати ікосаедр в куб.

Якщо в додекаедр вписано куб, а в куб вписано ікосаедр, то ці додекаедр та ікосаедр мають однакову довжину ребра.

Ікосаедр можна вписати в октаедр, розмістивши його 12 вершин на 12 ребрах октаедра так, щоб вони розділили кожне ребро у відношенні «золотого перетину». Оскільки золоті перерізи нерівні, існує п'ять різних способів зробити це послідовно, тому в кожен октаедр можна вписати п'ять різних ікосаедрів.

Зв'язок з «золотим прямокутником»

В правильний ікосаедр ідеально вписуються три взаємно перпендикулярні і відцентровані " золоті прямокутники " з відношенням сторін , що мають спільну точку в центрі ікосаедра.

При цьому дві короткі сторони одного такого прямокутника збігаються з протилежними паралельними ребрами ікосаедра.

Формули У всіх формулах нижче:

 — відношення пропорції «золотого перетину».

()

Діагоналі Кількість діагоналей опуклого многогранника: ,

де В — кількість вершин, Р — кількість ребер многогранника.

Для правильного ікосаедра:

діагоналей.

Всі діагоналі правильного ікосаедра є просторовими; граневих діагоналей він не має. Діагоналі правильного ікосаедра з довжиною ребра Просторові діагоналі≈ 1.6180339887 ≈ 1.9021130326

Метричні характеристики Для правильного ікосаедра з довжиною ребра Радіус вписаної сфери (Торкається всіх граней многогранника)≈ 0.7557613141 Радіус напіввписаної сфери (Торкається всіх ребер многогранника)≈ 0.8090169944 Радіус описаної сфери (Містить всі вершини многогранника)≈ 0.9510565163 Висота H (Відстань між паралельними гранями)≈ 1.5115226281 Площа поверхні ≈ 8.6602540378 ≈ 15.1621684308 ≈ 9.5745413833 Об'єм≈ 2.18169499 ≈ 5.054056143 ≈ 2.53615071 Відношення радіусів   однакове, як для правильного додекаедра, так і для правильного ікосаедра. Таким чином, якщо правильні додекаедр та ікосаедр мають однакові вписані сфери, то їх описані сфери також рівні між собою. Доведення цього математичного результату дано в Началах Евкліда.

Центр масс правильного ікосаедра знаходиться в його геометричному центрі.

Момент інерції суцільного правильного ікосаедра з масою та довжиною ребра (вісь обертання проходить через протилежні вершини):

+Вписана сфера правильного ікосаедраНапіввписана сфера правильного ікосаедраОписана сфера правильного ікосаедра

Точка в просторі Нехай описана сфера ікосаедра має радіус R. Нехай дано довільну точку в просторі і відстані від неї до вершин ікосаедра дорівнюють di. Тоді виконується рівність:

Якщо точка знаходиться на описаній сфері ікосаедра, то виконується рівність:

Кути

Плоскі кути граней при вершині: 60°.

Сума плоских кутів при кожній з 12 вершин дорівнює 300°. Кути многогранникаКут, під якимребро видно з центру правильного ікосаедра≈ 1.10714871779 рад ≈ 63°26′ 5.81576′′Двогранний кут між гранями ≈ 2.4118649973 рад ≈ 138°11′ 22.866375′′Тілесний кут при вершині ≈ 2.63454702604 срТілесний кут, під яким грань видно з центру многогранника ≈ 0.6283185307 срСферичність

Декартові координати вершин Декартові координати 12-и вершин правильного ікосаедра з довжиною ребра , центр якого знаходиться в початку координат

При цьому вершини (окрім двох діаметрально протилежних вершин на осі Oz) лежать в двох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини правильного п'ятикутника.

Початок координат збігається з центром многогранника, що є його центром симетрії та центром вписаної, напіввписаної та описаної сфер.

Вісь Oz збігається з однією з осей симетрії 5-го порядку, а вісь Oy — з однією з осей симетрії 2-го порядку.

Площина Oxz є однією з площин симетрії многогранника.

Правильний ікосаедраедр з довжиною ребра в декартовій системі координат має вершини з наступними координатами:

При цьому вершини лежать в чотирьох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини правильного трикутника.

Початок координат збігається з центром многогранника, що є його центром симетрії та центром вписаної, напіввписаної та описаної сфер.

Вісь Oz збігається з однією з осей симетрії 3-го порядку, а вісь Oy — з однією з осей симетрії 2-го порядку.

Площина Oxz збігається з однією з площин симетрії многогранника.

Вершини ікосаедра з довжиною ребра 2 і центром в початку координат визначають такі декартові координати:

.

де  — відношення пропорції «золотого перетину».