Тета-функції — цілі функції комплексної змінної (можливо залежні від додаткових параметрів), що є квазідвоперіодичними, тобто крім періоду мають ще так званий квазіперіод при додаванні якого до значення аргументу значення функції множиться на деякий мультиплікатор.
Особливо велике значення мають тета-функції Якобі — чотири тета-функції залежні від параметра , що використовуються в теорії еліптичних функцій, модулярних форм і інших.
Загальні тета-функції Тета-функцією називається функція, що задовольняє властивості:
Як періодична ціла функція, завжди рівна сумі ряду:
Дані ряди називаються тета-рядами.
На практиці найважливішими є мультиплікатори виду
де k — натуральне число, що називається порядком або вагою тета-функції, q — числовий множник.
Тета-функції Якобі
Основна тета-функція Якобі Основною тета-функцією Якобі називається функція двох комплексних змінних, що за означенням рівна
Даний ряд є нормально збіжним на множині , де є верхньою комплексною напівплощиною. Для всіх функція є цілою функцією, для всіх функція є голоморфною на множині .
Інші тета-функції Якобі Через основну тета-функцію Якобі можна ввести ще три тета-функції:
В цих позначеннях .
Тета-константи Для значення , отримаємо функції визначені на верхній комплексній напівплощині, які також називаються тета-константами.
Означення за допомогою ному Означення тета-функцій можна дати не лише в термінах змінних і , але і в змінних і нома , де і . В цих змінних функції рівні
Ці фомули можна використати для означень тета-функцій в полях де експоненційне відображення може не бути всюди визначеним, наприклад в полях p-адичних чисел.
Властивості
Періодичність і квазіперіодичність Для фіксованого тета-функції Якобі є періодичними з періодами 1 або 2 і квазіперіодичними щодо періоду , а саме для всіх виконуються рівності:
Тобто для фіксованого тета-функції Якобі є тета-функціями, згідно означення загальної тета-функції.
Інтегральні представлення Для тета-функцій Якобі справедливими є інтегральні представлення:
Нулі тета-функцій Якобі Для фіксованого тета-функції Якобі:
де , — довільні цілі числа.
Рівності Якобі Рівності Якобі визначають поведінку тета-функцій Якобі під впливом дії модулярної групи, породженої перетвореннями і . Рівняння для першого перетворення утворюються з врахуванням того, що додавання 1 до має такий же ефект на значення функції, як додавання до .
Для визначення впливу другого перетворення позначимо
Тоді
Інші властивості Формула добутку Всі тета-функції Якобі задовольняють диференціальному рівнянню Зв'язок з еліптичною функцією Вейєрштраса , де похідні є щодо змінної і константа вибирається так щоб розклад в ряд Лорана в точці мав нульовий доданок нульового степеня. Зв'язок з дзета функцією Рімана: Зв'язок з ета функцією Дедекінда. Нехай — ета функцією Дедекінда. Тоді і,
Див. також Еліптична функція Еліптичні функції Якобі Майже ціле число Функція суми квадратів
Джерела