В математиці, алгебра Лі називається розв'язною похідний ряд стає нульовим починаючи з деякого члена. Похідною алгеброю Лі називається підалгебра в , що позначається як
і елементами якої за означенням є дужки Лі всеможливих пар елементів з . Похідним рядом називається послідовність підалгебр
Елементи цього ряду також позначаються де і
Якщо для деякого k виконується , то алгебра Лі називається розв'язною.
Максимальна розв'язна підалгебра називається підалгеброю Бореля. Найбільший розв'язний ідеал алгебри Лі називається радикалом.
Означення Нехай — скінченновимірна алгебра Лі над полем характеристики . Тоді твердження нижче є еквівалентними і можуть бути використані як означення: (i) є розв'язною за означенням вище. (ii) , приєднане представлення алгебри , є розв'язним. (iii) Існує скінченна послідовність ідеалів алгебри } для яких:
(iv) є нільпотентною алгеброю Лі. Proposition 1.39. (v) Для -вимірної алгебри , існує послідовність підалгебр алгебри для яких:
і є ідеалом в . Proposition 1.23. Ця послідовність називається елементарною послідовністю. (vi) Існує скінченна послідовність підалгебр алгебри для яких, і є ідеалом і до того ж є комутативною алгеброю Лі. (vii) є розв'язною тоді і тільки тоді коли її форма Кіллінга задовольняє умову для всіх в і в . Proposition 1.46.
Приклади Напівпроста алгебра Лі ніколи не є розв'язною. Будь-яка абелева алгебра Лі є розв'язною. Будь-яка нільпотентна алгебра Лі є розв'язною. Якщо є скінченновимірним векторним простором над полем і — повний прапор векторних підпросторів. Підалгебра алгебри є розв'язною алгеброю Лі. Якщо на просторі ввести базис, що узгоджується з то елементи алгебри визначаються верхніми трикутними матрицями. Алгебра верхніх трикутних матриць над полем розмірності n позначається Якщо — алгебраїчно замкнуте поле характеристики 0 то довільна розв'язна скінченновимірна алгебра Лі над полем ізоморфна підалгебрі алгебри
Властивості Згідно з теоремою Лі, якщо є скінченновимірним векторним простором над алгебраїчно замкнутим полем характеристики 0 і є розв'язною алгеброю Лі над підполем поля , і є представленням алгебри над простором ,тоді існує повний прапор векторних підпросторів для якого Зокрема існує вектор що є одночасно власним вектором матриць для всіх елементів . Theorem 1.25. Більш загально теорема Лі є справедливою якщо поле є досконалим і містить всі власні значення усіх матриць
Підалгебра Лі, факторалгебра і розширення розв'язної алгебри Лі є розв'язними алгебрами Лі. Розв'язна ненульова алгебра Лі має ненульовий абелевий ідеал, останній ненульовий член в похідному ряді. Образ розв'язної алгебри Лі при гомоморфізмі є розв'язною алгеброю Лі. Якщо є розв'язним ідеалом в і алгебра є розв'язною, то і алгебра є розв'язною. Якщо є скінченновимірною, тоді існує єдиний розв'язний ідеал , що містить всі розв'язні ідеали алгебри . Цей ідеал називається радикалом алгебри і позначається . Радикали мають важливе значення в теорії скінченновимірних алгебр Лінад полями характеристики 0 оскільки в цьому випадку довільна алгебра Лі є напівпрямою сумою свого радикала, що є розв'язною алгеброю Лі і деякої напівпростої алгебри Лі. Тому класифікація алгебр Лі зводиться до класифікації напівпростих алгебр Лі і розв'язних алгебр Лі. Проте завдання класифікації скінченновимірних розв'язних алгебр Лі є набагато складнішим, ніж класифікація напівпростих алгебр. Якщо є розв'язними ідеалами, то таким є і ідеал . Розв'язна алгебра Лі має єдиний найбільший нільпотентний ідеал , що є множиною елементів для яких є нільпотентним відображенням. Розв'язна алгебра Лі розкладається на напівпряму суму цього ідеалу і деякої абелевої підалгебри. Якщо є диференціюванням на , то . Proposition 1.40.
Цілком розв'язні алгебри Лі Алгебра Лі називається цілком розв'язною якщо для неї існує елементарна послідовність ідеалів у від до . Скінченновимірна нільпотентна алгебра Лі є цілком розв'язною і цілком розв'язна алгебра Лі є розв'язною. Над алгебраїчно замкнутим полем розв'язна алгебра Лі є цілком розв'язною, натомість, наприклад -вимірна дійсна алгебра Лі групи евклідових ізометрій площини є розв'язною але не цілком розв'язною. Ця алгебра є ізоморфною матричній алгебрі
Розв'язна алгебра Лі над полем є цілком розв'язною тоді і тільки тоді коли всі власні значення належать для всіх в .
Див. також Алгебра Лі Форма Кіллінга
Посилання EoM article Lie algebra, solvable EoM article Lie group, solvable
Примітки
Література
.