Лінійна форма, лінійний функціонал, 1-форма, коваріантний вектор або ковектор () в лінійній алгебрі — лінійне відображення заданого векторного простору в поле скалярів, над яким визначено даний простір. Також поняття можна ввести для модулів над кільцями.
У , якщо вектори представлені у вигляді вектор-стовпців, то лінійні функціонали представляються у вигляді вектор-рядків, а їх дія над векторами задається добутком матриці на вектор-рядок зліва та на вектор-стовпець справа. У загальному випадку, якщо є векторним простором над полем , то лінійний функціонал є функцією з простору в поле , яка є лінійною:
для всіх для всіх
Сукупність усіх лінійних функціоналів з простору в поле (позначається як ) утворює векторний простір над полем з операціями додавання та скалярного множення, що визначені поточково. Цей простір називають спряженим простором простору , або іноді алгебраїчним спряженим простором, щоб відрізнити його від неперервного спряженого простору. Часто його позначають як , або , якщо поле зафіксовано.
Формальне означення Нехай — векторний простір над полем . Відображення називається лінійною формою або лінійним функціоналом якщо воно є однорідним,
адитивним,
Еквівалентною умовою є виконання рівності
Неперервні лінійні функціонали
Якщо — топологічний векторний простір, то простір неперервних лінійних функціоналів (неперервних спряжених) часто просто називають спряженим простором. Якщо — банахів простір, то таким є і його (неперервно) спряжений. Щоб відрізнити звичайний спряжений простір від неперервного спряженого простору, перший іноді називають алгебраїчним спряженим простором. Для скінченних розмірностей кожен лінійний функціонал є неперервним, тому неперервно спряжений збігається з алгебраїчно спряженим, але у нескінченних розмірностях неперервно спряжений є відповідним підпростором алгебраїчно спряженого.
Властивості лінійних форм
Кожна лінійна форма є або тривіальною (рівною нулю для кожного вектора) або сюр'єктивною. Лінійна форма є неперервною тоді і тільки тоді, коли її ядро є замкнутою підмножиною. Абсолютне значення довільної лінійної форми над полем дійсних чи комплексних чисел є напівнормою на лінійному просторі, на якому вона визначена.
Приклади , що рівна , що рівна
Простір лінійних функціоналів
Множина всіх лінійних форм утворює векторний простір з операціями додавання лінійних форм , і множення на скаляр , що визначені поточково, тобто
і
Даний простір називається спряженим (або двоїстим) до простору і позначається
Приклади і застосування
Лінійні функціонали в
Нехай вектори дійсного простору представлені у вигляді вектор-стовпців
Для будь-якого вектор-рядка існує лінійний функціонал , визначений наступним чином:
і будь-який лінійний функціонал може бути представлений у такій формі.
Це можна проінтерпретувати або як матричний, або скалярний добуток, вектора-рядка і вектора-стовпця
Інтегрування
Лінійні функціонали вперше з'явилися у функціональному аналізі, при вивченні векторних просторів функцій. Типовим прикладом лінійного функціоналу є інтегрування: лінійне перетворення, визначене інтегралом Рімана,
є лінійним функціоналом з векторного простору неперервних на відрізку функцій у простір дійсних чисел. Лінійність випливає із стандартних властивостей інтегралу:
Оцінка
Нехай — векторний простір дійснозначних поліноміальних функцій степеня визначених на відрізку . Якщо , тоді відображення називається функціоналом оцінки
Відображення лінійне, оскільки
Якщо — різних точок відрізку , то функціонали оцінки , утворюють базис спряженого до простору ( доводить це, використовуючи інтерполяцію Лагранжа).
Застосування в інтегруванні
Функціонал визначений вище визначає лінійний функціонал на підпросторі многочленів степеня . Якщо — це різних точок у , тоді є коефіцієнти для яких
для всіх . Це складає основу теорії чисельного інтегрування.
Це випливає з того, що визначені вище лінійні функціонали утворюють базис спряженого до простору.
Лінійні функціонали в квантовій механіці
Лінійні функціонали особливо важливі в квантовій механіці. Квантові механічні системи представлені просторами Гільберта, які є антиізоморфними їх власним спряженим просторам. Стан квантової механічної системи можна ототожнити з лінійним функціоналом. Для отримання додаткової інформації див. бра-кет позначення.
Розподіли
У теорії узагальнених функцій деякі види узагальнених функцій, які називаються розподілами, можна представити у вигляді лінійних функціоналів на просторах тестових функцій.
Властивості лінійних функціоналів
Будь-який лінійний функціонал є або тривіальним (всюди дорівнює 0) або сюр'єктивним над скалярним полем. Дійсно, це випливає з того, що образ векторного підпростору при лінійному перетворенні є підпростором, тому і образ при відображені теж буде підпростором. Лінійний функціонал є неперервним лише тоді, коли його ядро є замкненим. Лінійні функціонали з однаковими ядрами є пропорційними. Абсолютне значення будь-якого лінійного функціоналу є напівнормою на його векторному просторі.
Зображення лінійних функціоналів
У скінчених розмірностях лінійний функціонал можна візуалізувати у термінах множин рівнів, множина векторів, які відображаються у задане значення. Для розмірності три множини рівнів лінійного функціоналу — це сімейство взаємно паралельних площин; для вищих розмірностей вони є паралельними гіперплощинами. Цей метод візуалізації лінійних функціоналів іноді використовується в текстах у загальній теорії відносності, наприклад, Гравітація by .
Спряжені вектори та білінійні форми
Кожна невироджена білінійна форма у скінченно-вимірному векторному просторі породжує ізоморфізм : такий, що
де білінійна форма на позначається як (наприклад, в евклідовому просторі — скалярний добуток і ).
Оберненим ізоморфізмом є , де єдиний елемент такий, що
Базис у скінченних розмірностях
Базис спряженого простору в скінченних розмірностях
Нехай векторний простір має базис , необов'язково ортогональний. Тоді спряжений простір має базис , який називається спряженим базисом, визначеним спеціальною властивістю:
Або, більш коротко,
де — символ Кронекера. Тут верхні індекси базисних функціоналів не степені, а контраваріантні індекси.
Лінійний функціонал , що належить спряженому простору , можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних функціоналів з коефіцієнтами (компонентами) ,
Тоді, застосувавши функціонал до базисного вектора , отримаємо
завдяки лінійності скалярних множників функціоналів і точкової лінійності сум функціоналів. Тоді
Отже, кожну компоненту лінійного функціоналу можна отримати, застосувавши функціонал до відповідного базисного вектора.
Спряжений базис та скалярний добуток
Якщо у просторі визначено , то можна у явному вигляді написати формулу для спряженого базису через заданий базис. Нехай — базис простору (необов'язково ортогональний). Для розмірності три спряжений базис можна записати у явному вигляді:
для , де — символ Леві-Чівіта і — скалярний добуток у просторі .
Для вищих розмірностей це узагальнюється наступним чином:
де — оператор зірки Ходжа.
Див. також Лінійне відображення Спряжений простір
Примітки
Література