Ланцюгова гомотопія — варіація поняття «гомотопія» в алгебраїчній топології і гомологічній алгебрі.
Означення
Нехай і — ланцюгові комплекси модулів (тобто множина модулів і модульних гомоморфізмів ), і — ланцюгові відображення комплексу в комплекс (тобто такі гомоморфізми що ).
Ланцюговою гомотопією між відображеннями і називається множина гомоморфізмів , для яких справедливими є рівності
Аналогічно можна ввести поняття ланцюгової гомотопії для коланцюгових комплексів і Якщо і — коланцюгові відображення комплексу в комплекс (тобто такі гомоморфізми що ).
Ланцюговою гомотопією між відображеннями і називається множина гомоморфізмів , для яких справедливими є рівності
Діаграма для випадку коланцюгових комплексів зображена нижче:
Властивості Відношення ланцюгової гомотопії є відношенням еквівалентності на множині ланцюгових відображень (і також на множині коланцюгових відображень). Дійсно відображення є ланцюговою гомотопією, що забезпечує рефлексивність. Якщо відображення є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями і , то є ланцюговою гомотопією між і , що доводить симетричність відношення. Якщо є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями і , а є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями і , то є ланцюговою гомотопією між відображеннями і Тобто відношення є також транзитивним і, як наслідок, відношенням еквівалентності. Клас еквівалентності ланцюгового відображення позначають , еквівалентність відображеннь і позначається як Якщо , і — ланцюгові комплекси і — ланцюгові відображення, такі що то також Відповідно можна ввести добуток на класах ланцюгової гомотопії Якщо для ланцюгового відображення існує таке відображення що і то ланцюгові комплекси називаються гомотопно еквівалентними.
Якщо відображення і є ланцюгово гомотопними, то індуковані відображення на гомологічних групах є рівними (де ). Справді, нехай — цикл, тобто елемент з . Тоді . Так як і є ланцюгово гомотопними, то , Тобто відрізняються на границю (елемент ).
Для більшості теорій гомологій гомотопні неперервні відображення топологічних просторів індукують ланцюгово гомотопні відображення комплексів і, по доведеному, однакові відображення груп гомологій (виконується аксіома гомотопічної інваріантності).
Див. також Ланцюговий комплекс
Література Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — Москва: МЦНМО, 2005 Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — Москва: Наука, 1989 Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Москва: Мир, 1976 Маклейн С. Гомология. — Москва: Мир, 1966 Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Москва: Мир, 1971