Букет просторів — топологічний простір, який інтуїтивно можна отримати склеюванням декількох топологічних просторів по одній точці в кожному просторі. Букети просторів часто використовуються в алгебричній топології для обчислень фундаментальних груп і груп гомологій.
Означення Букет двох просторів і із виділеними точками і можна визначити як фактор-простір диз'юнктного об'єднання і
де позначає мінімальне відношення еквівалентності таке, що . У цьому відношенні всі класи еквівалентності складаються з однієї точки за винятком одного, до якого належать дві точки .
Подібним чином визначається букет довільної множини просторів із виділеними точками
де позначає мінімальне відношення еквівалентності таке, що для всіх і . Як і вище, для цього відношення всі класи еквівалентності складаються з однієї точки за винятком одного, до якого належать всі виділені точки .
Букет загалом залежить від вибору виділених точок і природним чином є простором з виділеною точкою.
Опис через категорії Букет можна розуміти як кодобуток в категорії топологічних просторів з виділеною точкою. Крім того, букет можна розглядати як кодекартів квадрат схеми X < {•} > Y в категорії топологічних просторів, де {•} позначає простір з однієї точки.
Приклади
Букет двох кіл з виділеними точками є гомеоморфним «вісімці» (див. рисунок). Букет з двох сфер (розмірності 2) зображений на нижньому рисунку. В теорії гомотопій важливою конструкцією є ідентифікація точок, що лежать на деякому екваторі n-сфери . Отриманий при цьому простір є букетом двох сфер :
Властивості Як бінарна операція, побудова букета є асоціативною і комутативною (з точністю до ізоморфізму). Якщо відмічені точки допускають однозв'язні околи, то фундаментальна група букета ізоморфна вільному добутку фундаментальних груп і . Це твердження випливає з теореми Зейферта — ван Кампена. Нехай X є букетом двох просторів K і L з виділеними точками p і q і до того ж виділені точки є деформаційними ретрактами для деяких своїх околів U ⊂ K і V ⊂ L. Остання властивість означає, що наприклад відображення є гомотоптим сталому відображенню, що для всіх елементів U приймає значення p і подібно для L і q. При цих припущеннях справедливою є рівність для редукованих гомологічних груп:
Зокрема для прикладів розглянутих вище:
Подібне співвідношення є справедливим і для відносних гомологічних груп:
Див. також Смеш-добуток
Література