Теоре́ма Брамагу́пти () — теорема елементарної геометрії про одну з властивостей вписаного у коло чотирикутника, доведена у сьомому столітті нашої ери індійським математиком Брамагуптою і носить його ім'яCoxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 59, 1967.
Формулювання теореми
Основне формулювання теоремиMichael John Bradley The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300. — Publisher Infobase Publishing, 2006. — P 70, 85. — ISBN 0816054231:
Якщо вписаний у коло чотирикутник має взаємно перпендикулярні діагоналі, які перетинаються у точці , то пряма, що проходить через точку і є перпендикулярною до однієї з його сторін, ділить протилежну до неї сторону навпіл.
Примітка По аналогії із серединним перпендикуляром (медіатрисою) до сторони трикутника відрізок FE на рисунку праворуч називають антимедіатрисою протилежних сторін чотирикутника. З урахуванням цієї примітки теорема Брамагупти може бути сформульована у вигляді:
Якщо вписаний у коло чотирикутник має перпендикулярні діагоналі, що перетинаються у точці , то дві пари його антимедіатрис проходять через точку .
Доведення теореми На рисунку зображено вписаний чотирикутник , що має перпендикулярні діагоналі і , а пряма є перпендикулярною до сторони й перетинає сторону у точці . Тоді
Отже, трикутник є рівнобедреним.
Аналогічно, рівнобедреним буде і трикутник . Тому .
Див. також Формула Брамагупти
Примітки
Джерела Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
Посилання Brahmagupta's Theorem на освітньому сайті «cut-the-knot»