У математиці, плоска кубічна крива (або плоска крива третього степеня) — це плоска алгебрична крива , загальне рівняння якої в декартовій системі координат має вигляд:
де хоча б один з коефіцієнтів A, B, C, D не дорівнює нулю.
Загальне рівняння кривої 3-го порядку має 10 коефіцієнтів. Оскільки крива не зміниться, якщо рівняння помножити на довільне ненульове число, то належним підбором множника можна будь-який коефіцієнт рівняння зробити рівним 1, і, таким чином, залишити 9 коефіцієнтів.
Отже, простір кубічних кривих можна ототожнити з дійсним проєктивним простором розмірності 9, відносно будь-якого даного поля C.
Звідси також випливає, що оскільки кубика має 9 ступенів вільності, то згідно з довільні 9 точок площини в загальному положенні однозначно визначають єдину невироджену криву 3-го порядку. Аналогічно до того, як дві точки однозначно визначають пряму, а .
Якщо через задану множину дев'яти точок проходять дві криві, то ці точки фактично визначають сімейство кубічних кривих, та мають додаткові властивості; див. .
Невироджена плоска крива 3-го порядку може мати такі сингулярні (тобто особливі) точки: одну вузлову (подвійну) точку, або одну точку звороту (касп). В цьому випадку вона має параметризацію в термінах проєктивної прямої.
Вироджена плоска крива 3-го порядку (це або коніка та пряма, або три прямі), може мати дві подвійні вузлові точки чи точку самодотику (у випадку конічного перерізу і прямої), або до трьох подвійних точок чи однієї потрійної точки (конкурентні прямі у випадку трьох прямих).
Дійсні точки кубічних кривих вивчалися Ісааком Ньютоном. Дійсні точки несингулярної проєктивної кривої потрапляють до одного або двох «овалів». Один з цих овалів перетинає кожну дійсну проєктивну пряму, і, таким чином, не обмежений у випадку, коли крива розглядається в евклідової площині. Він існує у вигляді одної або трьох нескінченних гілок, що містять три дійсні точки перегину. Інший овал, якщо він існує, не містить жодної дійсної точки перегину і може бути або у вигляді овалу, або у вигляді двох нескінченних гілок. Як і для конічних перетинів, пряма перетинає цей овал не більше ніж у двох точках.
Несингулярна кубічна крива визначає еліптичну криву, над будь-яким полем C, для якого вона має визначену точку. Еліптичні криві тепер, зазвичай, вивчаються у вигляді еліптичних функцій Вейєрштрасса, які визначають квадратичне розширення поля раціональних функцій, зроблених шляхом добування квадратного кореня з кривої. Це залежить від наявності K-раціональної точки, яка слугує точкою на нескінченності в формі Вейерштрасса. Існує багато кубічних кривих, які не мають таку точку, наприклад, коли K — поле раціональних чисел.
Можна розглядати криві 3-го степеня над іншими полями (або навіть кільцями), наприклад, над комплексними числами. Окрім того, можна розглядати криві в проєктивній площині, що задаються однорідними багаточленами.
Альтернативне означення:
Плоска кубічна крива — це алгебрична крива , що задана кубічним рівнянням F(x, y, z) = 0 в однорідних координатах проєктивної площини.
У випадку неоднорідних координат афінного простору, у рівнянні приймають . Функція F є ненульовою лінійною комбінацією щонайбільше десяти одночленів третього степеня: x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz.
Класифікація кривих третього порядку Вперше класифікацію кривих 3-го порядку здійснив І. Ньютон в 1704 році, описавши в своїй роботі 72 криві. Однак пізніше Дж. Стірлінг та Ф. Ніколь доповнили його класифікацію ще шістьма кривими, які Ньютон неврахував.
Найбільш зручний принцип, що покладається в основу класифікації кривих 3-го порядку, є розподіл їх на групи в залежності від кількости та характеру їх нескінченних гілок. Класифікація Ньютона
І.Ньютон, застосовуючи елементарні перетворення, зводить загальне рівняння 3-го степеня (див. попередній розділ) до однієї з чотирьох канонічних форм:
Потім за коефіцієнтами канонічного рівняння він формує допоміжне характеристичне рівняння 4-го (або 3-го) степеня:
або
В залежности від різних співвідношень між коренями характеристичного рівняння, Ньютон поділяє всі криві 3-го порядку на 7 класів, 14 родів та 72 типи.
Криві, рівняння яких зводиться до канонічної форми , Ньютон поділяє на 4 класи: Клас 1 Гіперболічні гіперболи (розділяються в свою чергу на 4 роди): Адіаметральні — без діаметрів; (9 типів кривих); Монодіаметральні — з одним діаметром; (12 типів кривих); Тридіаметральні — з трьома діаметрами; (2 типа кривих); Гіперболічні гіперболи з асимптотами, що перетинаються в одній точці ; (9 типів кривих).
Клас 2 Дефективні гіперболи : Адіаметральні ; (6 типів кривих); Монодіаметральні ; (7 типів кривих).
Клас 3 Параболічні гіперболи : Адіаметральні ; (7 типів кривих); Монодіаметральні ; (4 типа кривих).
Клас 4 Гіперболізми конічних перетинів : Гіперболізм гіперболи ; (4 типа кривих); Гіперболізм еліпса ; (3 типа кривих); Гіперболізм параболи ; (2 типа кривих). Криві, рівняння яких зводиться до канонічних форм , та налічуюють по одному класу: Клас 5 Тризуб або Параболізм гіперболи; Клас 6 Розбіжна парабола (цей клас поділяється на 5 типів); Клас 7 Кубічна парабола. Класифікація Плюккера Ю. Плюккер класифікує криві 3-го порядку (1835 р.) в залежности від положення асимптот та прямої , що з'єднує точки перетину кривої з асимптотами.
Плюккер поділяє всі криві 3-го порядка на 6 класів: 1-й клас містить гіперболічні та дефективні гіперболи. Криві цього класу мають три прямолінійні асимптоти. 2-й клас містить параболічні гіперболи, що мають одну прямолінійну та одну параболічну асимптоти. 3-й клас містить гіперболізми конічних перетинів. У кривих цього класу дві з трьох прямолінійних асимптот паралельні між собою. 4-й клас містить розбіжні параболи, асимптотою яких є також розбіжна парабола. 5-й клас містить тризубці, що мають одну прямолінійну та одну параболічну асимптоти. 6-й клас містить кубічні параболи, які не мають асимптот. Криві одного класу Плюкер поділяє на категорії, роди, види, групи та типи. Всього він налічує 219 типів кривих 3-го порядку.
Властивості кривих третього порядку Формула Плюккера Нехай — порядок кривої ; — клас кривої (визначається кількістю дотичних до кривої, які можна провести з точки, що лежить поза кривою); — кількість точок звороту; — кількість інших подвійних точок ; — кількість точок перегину; — кількість подвійних дотичних; — дефіцієнт кривої (різниця між можливою та наявною кількістю подвійних точок). Згідно зі своїми формулами, Юліус Плюккер для кривої третього порядку представив ці залежності у вигляді таблиці, виділивши три типи кривих 3-го порядку: Тип n k r d ω t p (I) 3 6 0 0 9 0 1 (II) 3 4 0 1 3 0 0 (III) 3 3 1 0 1 0 0 Криві типів (II) та (III) є раціональними кубиками, та відомі як нодальні (мають особливу вузлову точку (або точку самоперетину), з двома дотичними в ній) та каспідальні (мають особливу точку звороту — касп) кубики відповідно. Криві типу (I) є несингулярними кубиками (без особливих точок), тобто еліптичними кривими. Теореми 1 Теорема Маклорена Якщо в трьох точках перетину кривої 3-го порядку з деякою прямою провести до цієї кривої дотичні, то точки їх перетину з кривою лежать також на одній прямій. 2 Якщо пряма проходить через дві точки перегину кривої 3-го порядку, то вона обов'язково пройде і через третю точку перегину. Згідно з цією теоремою, якщо крива має три точки перегину, то вони обов'язково дежать га одній прямій. 3 Якщо через чотири точки кривої 3-го порядку проведена крива 2-го порядку, яка перетинає задану криву ще в двох точках, то пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає криву 3-го порядку в певній точці, що спільна для всіх кривих 2-го порядку, які проходять через чотири задані точки. Точки перегину, кратні точки Відомо, що точки перегину алгебричної кривої збігаються з точками перетину цієї кривої та її гесіани.
Гесіаною алгебричної кривої називається крива, що визначається рівнянням
Гесіана кривої 3-го порядку є крива 3-го порядку. Звідки випливає, що максимальна кількість точок перегину у кривої 3-го порядку не перевищує дев'яти. З них дійсними точками можуть бути лише три.
Як довів Ф.Кляйн для кривої (крива n-го порядку та k-го класу) має місце співвідношення:
де — кількість дійсних точок перегину; — кількість дійсних точок звороту; — кількість дійсних ізольованих точок; — кількість дійсних ізольованих дотичних. З цих співвідношень випливає, що крива має або три дійсні точки перегину (неособлива та з ізольованою точкою), або ж одну дійсну точку перегину ( з вузловою точкою та ). Крива 3-го порядку з вузловою точкою має одну дійсну точку перегину та дві уявні. У кривої 3-го порядку з ізольованою точкою всі три точки перегину дійсні. Кожна крива 3-го порядку, яка не має подвійної точки, має щонайменше одну дійсну точку перегину (яка може бути і нескінченно віддаленою).
Крива 3-го порядку не може мати бьш ніж одну подвійну точку, а також не може мати потрійних точок. Крива не може мати уявних подвійних точок, а також подвійних дотичних, оскільки подвійна дотична має з кривою не менш ніж чотири спільні точки. Криві 3-го порядку, які мають подвійну точку, є раціональними кривими. Помістивши початок координат в подвійну точку, отримаємо рівняння кривої 3-го порядку у вигляді:
Установивши, що отримаємо параметричні рівняння кривої 3-го порядку: , які є раціональними.
Раціональна крива 3-го порядку з вузловою (подвійною) точку, або точкою звороту (каспом), має одну дійсну точку перегину, а крива з ізольованою точкою — три дійсні точки перегину.
Полюси та поляри
Криву 2-го порядку, на якій лежать точки дотику дотичних, що проведені до кривої 3-го порядку з точки називають першою полярою точки P відносно кривої , а саму точку — полюсом. Її рівняння в однорідних координатах :
Точка також має поляру відносно цієї кривої 2-го порядку; її називають другою полярою точки P відносно кривої 3-го порядку. Ця поляра є прямою з рівнянням:
Перша поляра є геометричним місцем точок, другі поляри яких проходять через полюс; Друга поляра є геометричним місцем точок, перші поляри яких проходять через полюс. Якщо полюс знаходиться на самій кривій, то друга поляра збігається з дотичною. Оскільки при цьому полюс знаходиться на першій полярі, то друга торкається першої в полюсі, а отже, крива 3-го порядку та її перша поляра мають в полюсі дві спільні точки, що збігаються одна з одною. А отже, кількість інших їх спільних точок не перевищує 4. Друга поляра нескінченно віддаленої точки відносно кривої 3-го порядку є діаметром цієї кривої, та має рівняння:
де — кутовий коефіцієнт хорд, до яких цей діаметр є спряженим. Кожна хорда кривої 3-го порядку гармонічно ділиться цією кривою та першою полярою однієї з точок перетину цієї хорди з кривою. Перша поляра точки перегину є виродженою кривою 2-го порядку, а саме парою прямих, що перетинаються. Одна з цих прямих є дотичною до кривої 3-го порядку, а другу називають гармонійною полярою точки перегину кривої 3-го порядку. Гармонійна поляра є геометричним місцем четвертих гармонічних точок щодо трьох точок перетину з кривою хорд, що проходять через точку перегину.
Приклади кривих 3-го порядку Нижче наведено низку прикладів кривих 3-го порядку та їх рівняння
Кубічні криві в площині трикутника Нехай ABC — трикутник з довжинами сторін a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |. Всі кубічні криві, описані в цьому розділі, проходять через чудові точки трикутника. У прикладах, наведених нижче, використовуються два види однорідних координат: трилінійні та барицентричні. Для переходу від трилінійних координат до барицентричних в кубічному рівнянні слід зробити заміну наступним чином:
для переходу від барицентричних координат до трилінійних використовується заміна:
Більшість рівнянь кривих 3-го порядку мають вигляд:
У наведених нижче прикладах, такі рівняння записуються більш коротко в «циклічному запису суми», тобто:
Кубічні криві, що описані нижче, можна означити через ізогональне спряження точки , яка не лежить на стороні .