У гідромеханіці, рівняння Релея-Плессета являє собою звичайне диференціальне рівняння, яке визначає динаміку сферичної бульбашки в нескінченному об'ємі рідини. Загальний вигляд цього рівняння записується таким чином:
де — тиск всередині бульбашки — зовнішній тиск, джерело якого знаходиться нескінченно далеко від бульбашки — густина навколишньої рідини, яка є константою — радіус бульбашки — кінематична в'язкість навколишньої рідини, яка є константою — поверхневий натяг бульбашки За умов, що відомий і заданий, рівняння Релея–Плессета може бути використане для знаходження для мінливого у часі радіуса бульбашки .
Рівняння Релея–Плессета отримується з рівнянь Нав'є–Стокса при припущенні сферичної симетрії. Без урахування поверхневого натягу і в'язкості, рівняння вперше було отримано Релеєм у 1917 році. Рівняння було вперше було застосовано на так званих кавітаційних бульбашок з Плессетом в 1949 році.
Отримання Рівняння Релея-Плессета може бути отримано з першооснов, використовуючи радіус бульбашки як динамічний параметр. Розглянемо сферичну бульбашку з радіусом, який залежить від часу, , де — час. Припустимо, що бульбашка містить рівномірно розподілений всередині газ/пар з однаковою всюди температурою і тиском . Поза бульбашкою знаходиться нескінченний простір рідини, яка має густину і в'язкість . Позначимо температуру і тиск, джерела яких знаходяться далеко від бульбашки, як і відповідно, де — константа. При зміні радіальної відстані від центру бульбашки, змінюються властивості рідини, такі як тиск , температура , і радіальна швидкість . Зауважимо, що властивості рідини визначені тільки поза бульбашкою, при .
Збереження маси Через закон збереження маси, закон обернених квадратів вимагає, щоб радіальна швидкість була обернено пропорційна квадрату відстані від джерела (в центрі бульбашки). Нехай — деяка функція часу,
У випадку перенесення нульової маси через поверхню бульбашки, швидкість всередині повинна бути
що дає
У разі, коли відбувається перенесення маси, швидкість збільшення маси всередині бульбашки визначається як
з — об'єм бульбашки. Якщо — швидкість рідини відносно бульбашки на , тоді масове входження в бульбашку визначається як
з — поверхня бульбашки. Тепер, використовуючи закон збереження маси отримаємо . Звідси
Тут
У багатьох випадках, густина рідини значно перевищує густину пару, , так що можна апроксимувати як вихідну форму передачі нульової маси , так що
Збереження імпульсу Припускаючи, що рідина є ньютонівською, в нестискуване рівняння Нав'є–Стокса в сферичних координатах для руху в радіальному напрямку дає
Підставляючи в'язкість , отримуємо
Підставимо величину зі збереження маси, отримаємо
Зауважимо, що в'язкість не враховуються під час заміни. Відокремимо змінні та зінтегруємо вище наведений вираз від границі бульбашки до , отримуємо
Граничні умови Позначимо як нормальне напруження в рідині, що спрямоване радіально назовні з центру бульбашки. У сферичних координатах, для рідини з постійною густиною і постійною в'язкістю, напруження має вигляд:
Внаслідок чого, в якійсь невеликій частині поверхні бульбашки, сила на одиницю площі, діючи на плівку, має вигляд
де — поверхневий натяг. Якщо перенесення через границю відсутнє, то ця сила на одиницю площі повинна бути рівна нулю, тому
і в результаті збереження імпульсу
В результаті підстановки у вище наведений вираз дає нам рівняння Релея–Плессета
Використовуючи точкове позначення для запису похідних по часу, рівняння Релея–Плессета можна записати більш точно
Розв'язки Нещодавно, були знайдені для рівняння Релея-Плессета для порожньої і газонаповненої бульбашки аналітичні розв'язки у замкнутій формі and were generalized to the N-dimensional case.. Також були проаналізовані розв'язки у випадку, коли У поверхневий натяг присутній через ефект капілярності.
Також відомі для особливих випадків, коли поверхневий натяг і в'язкість не враховується, вищі порядки апроксимації.
У статичному випадку, рівняння Релея–Плессета спрощується, внаслідок чого виникає рівняння Юнга-Лапласа:
Посилання
Джерела Савула Я. Метод скінченних елементів (окремі сторінки посібника 1993 р. pdf) Шинкаренко Г. Чисельні методи математичної фізики (окремі сторінки чорновика посібника pdf)