Золота спіраль — логарифмічна спіраль, швидкість зростання якої дорівнює — золотій пропорції.
Формула Рівняння для золотої спіралі в полярній системі координат таке ж саме, що і для інших логарифмічних спіралей, але зі спеціальним значенням коефіцієнта зростання :
,
або:
,
де — основа натуральних логарифмів, — довільна позитивна дійсна константа, а знаходиться з рівняння:
,
в якому — золотий переріз. Рішенням цього рівняння є:
.
Оскільки спіраль може йти як за годинниковою стрілкою, так і проти неї, може бути і негативним:
.
Альтернативною формулою для золотої спіралі є:
,
де константа задається формулою:
.
Наближення золотої спіралі
Існує кілька схожих спіралей, які наближені, але не збігаються в точності з золотою спіраллю, з якою їх часто плутають.
Наприклад, золоту спіраль можна апроксимувати, почавши з прямокутника, у якого відношення між довжиною і шириною дорівнює золотій пропорції (такий прямокутник називають золотим). Цей прямокутник можна розділити на квадрат і подібний йому прямокутник, його, своєю чергою, розділити тим же чином, і продовжувати цей процес довільну кількість разів. Тоді ми отримаємо майже повне розкладання прямокутника на квадрати. Кути цих квадратів можна з'єднати четвертинками кіл, і тоді ми отримаємо криву, яка хоч і не є справжньою логарифмічною спіраллю, але близько її апроксимує.
Ще однією апроксимацією є спіраль Фібоначчі, яка будується подібно до вищеописаної спіралі, за винятком того, що починають з прямокутника з двох квадратів і додають потім до більшої сторони прямокутника квадрат такої ж довжини. Оскільки відношення між сусідніми числами Фібоначчі наближається до золотої пропорції, спіраль все більше наближається до золотої спіралі в міру додавання квадратів (див. другий малюнок).
Спіралі у природі Наближення до логарифмічних спіралей трапляється в природі (наприклад, рукави спіральних галактик чи раковини молюсків). Золоті спіралі є окремим випадком логарифмічних спіралей. Недавній глибокий аналіз спіралей, що зустрічаються в роговичному епітелії мишей, показав, що трапляються як золоті, так й інші логарифмічні спіралі. Іноді трапляються твердження, що спіральні галактики й раковини наутилідів частіше трапляються у формі золотої спіралі тому, що золота спіраль пов'язана із золотим перерізом і послідовністю Фібоначчі, однак насправді спіральні галактики й раковини молюсків часто мають вигляд логарифмічних спіралей, які істотно відрізняються від золотої.
Див. також Золотий кут Золотий прямокутник
Інтернет-ресурси
Німецькою Marcus Frings: Goldener Schnitt. In: RDK. Labor (2015).
Англійською Marcus Frings: The Golden Section in Architectural Theory. In: Nexus Network Journal, 2002, 4/1.
Alexander Bogomolny: Golden Ratio. cut-the-knot.org Steven Strogatz: Proportion Control. New York Times (Online), 24. September 2012. (Dezimalentwicklung von ), (Engel-Entwicklung von ), (Pierce-Entwicklung von ).