Ряд — в математиці, це операція додавання нескінченної кількості величин, послідовно одна за одною, починаючи із заданої величини.
Для кожного ряду зазвичай розглядають послідовності часткових сум (ряду) та елементів (ряду).
Розглядаються числові ряди двох видів: Дробові числові ряди — вивчаються в математичному аналізі; Комплексні числові ряди — вивчаються в комплексному аналізі; Важливіше питання дослідження числових рядів — це збіжність числових рядів. Числові ряди застосовуються як система наближень до чисел. Узагальненням поняття ряду є поняття .
Тривалий час, думка про те, що така потенційно нескінченна сума може мати скінченний результат, математиками і філософами розглядалася як парадокс. Цей парадокс було вирішено з виникненням поняття границі під час 19-го століття. Парадокс Зенона про Ахілла та черепаху ілюструє цю контрінтуїтивну властивість скінченних рядів: Ахілл біжить услід за черепахою, але коли він наздоганяє черепаху на початку гонки, вона вже досягає другої позиції; коли він досягає другої позиції черепахи, вона буде вже на третій позиції, і так далі. Зенон розрахував, що Ахілл ніколи не зможе досягнути черепаху, і що таким робом такого моменту не існує. Зенон розділив цю гонку на нескінченно велику кількість частин гонки, кожна з яких займає скінченну частину часу, так, що загальний час, за який Ахілл добіжить до черепахи, заданий рядом. Вирішенням цього парадоксу є те, що, хоча ряд має нескінченно велику кількість елементів, він має скінченну суму, яка і є тим часом, за який Ахілл наздожене та впіймає черепаху.
У сучасній термінології, будь-яка (впорядкована) нескінченна послідовність з термів (що можуть бути числами, функціями, або будь-чого, що може додаватися) визначає ряд, який є операцією додавання між собою. Аби підкреслити те, що існує нескінченна кількість термів, ряд може називатися нескінченним рядом. Такий ряд записується у вигляді такого математичного виразу: .
Загалом поняття ряду виникло з поняття кільця, що часто є полем дійсних чисел або полем комплексних чисел. У такому разі множина всіх рядів сама собою є кільцем (або навіть асоціативною алгеброю), у якій операція додавання визначає додавання рядів поелементно, терм за термом, а множення є операцією добутку Коші.
Визначення Нехай — послідовність; розглянемо також послідовність кожен елемент якої є n-тою частковою сумою членів початкової послідовності
Рядом називається сукупність цих двох послідовностей. Позначається:
Тоді, за визначенням: Числовий ряд збігається, якщо збігається послідовність його часткових сум; Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум; Числовий ряд збігається абсолютно, якщо збігається ряд з модулів його членів.
Якщо числовий ряд збігається, то границя послідовності його часткових сум має назву суми ряду:
Ознаки збіжності
Необхідні умови збіжності
Теорема 01 Якщо числовий ряд
збігається, то кінцевий член ряду ,
Доведення. Дійсно, оскільки , та , , то , .
Теорема 02 Якщо числовий ряд
збігається, то залишок ряду ,
Доведення. Розглянемо , .
Теореми 01 та 02 дають необхідні умови збіжності ряду (1).
Критерій Коші
Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб
.
Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності .
Критерій абсолютної збіжності Ряд з дійсних чисел збігається абсолютно тоді й тільки тоді, коли збігаються обидва ряди: ряд з додатних його членів і ряд з від'ємних членів.
Операції над рядами Нехай задано два збіжні ряди та . Тоді: Їх сумою називається ряд і його сама рівна . Їх добутком за Коші називається ряд , де
Якщо обидва ряди збігаються абсолютно, то добуток рядів збігається.
Приклади числових рядів
Приклад 01. Ряди
є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно, , у випадку ряду (1) та у випадку ряду (2).
Приклад 02. Доведемо, що
Дійсно, для
.
Отже, , .
Геометричний ряд — це такий ряд, ц якому кожен наступний елемент утворений множенням попереднього на стале число (що зветься сталим відношенням ряду). Наприклад:
Загалом геометричний ряд
збігається тоді й тільки тоді, коли . Арифметично-геометричний ряд — це узагальнення геометричного ряду, коефіцієнти сталого відношення якого дорівнюють елементам в арифметичній прогресії. Наприклад:
Гармонічний ряд — це ряд виду
Гармонічні ряди є розбіжними, оскільки за теоремою 02 .
Знакозмінний ряд — це ряд, у якому елементи можуть змінювати свій знак. У таких рядах доданки є як додатні, так і від'ємні. Наприклад: (знакозмінний гармонічний ряд) і
Узагальнений гармонічний ряд або p-ряд:
збігається, коли p > 1, і є розбіжним, коли p ≤ 1. Функція відносно p, що є сумою цього ряду є дзета-функцією Рімана. Телескопічний ряд:
збігається, якщо послідовність bn збігається до границі L, притому як n прямує до нескінченності. Значення ряду тоді дорівнюватиме b1 − L.
π Апроксимація числа π за допомогою ряду
Натуральний логарифм 2
Натуральний логарифм за основою e
Джерела