Коалгебра — математична структура, яка є двоїстою до асоціативної алгебри з одиницею. Аксіоми унітарної асоціативної алгебри можуть бути сформульовані в термінах комутативних діаграм. Аксіоми коалгебри одержуються за допомогою обертання стрілок. Кожна коалгебра через двоїстість векторних просторів породжує алгебру, але не завжди навпаки. У скінченновимірному випадку двоїстість є в обох напрямках.
Означення
Коалгебра над полем — це векторний простір над разом з — лінійними відображеннями і , такими що
.
(Тут і позначає тензорний добуток над .)
Еквівалентно, наступні дві діаграми комутують:
На першій діаграмі ми ототожнюємо з як два природно ізоморфних простори. Yokonuma (1992 ), p. 12, Prop. 1.7. Аналогічно, на другій діаграмі ототожнені природно ізоморфні простори , і . Yokonuma (1992), p. 10, Prop. 1.4.
Перша діаграма двоїста діаграмі, що виражає асоціативність операції множення алгебри (і називається коасоціативністю комноження); друга діаграма двоїста діаграмі, що виражає існування мультиплікативного нейтрального елемента. Відповідно, відображення називається комноженням (або кодобутком) в , а є коодиницею .
Приклад
Розглянемо деяку множину і векторний простір над з базисом . Елементами цього векторного простору є такі функції з в , які відображають всі елементи , крім скінченної кількості в нуль; ототожнимо елемент з з функцією, яка відображає в 1 і всі інші елементи в 0. Позначимо цей простір як . Визначимо
і можуть бути єдиним чином продовжені на все по лінійності. Векторний простір стає коалгеброю з комноженням і коодиницею (перевірка цього є хорошим способом, щоб звикнути до використання аксіом коалгебри).
Скінченновимірний випадок
У скінченновимірному випадку, двоїстість між алгеброю і коалгеброю є більш тісною: об'єкт, двоїстий до скінченновимірної (унітарної асоціативної) алгебри є коалгеброю, а двоїстий до скінченновимірної коалгебри є (унітарною асоціативною) алгеброю. Взагалі кажучи, об'єкт, двоїстий до довільної алгебри, може не бути коалгеброю.
Це випливає з того, що, для скінченновимірних просторів, і є ізоморфними. Якщо A є скінченновимірною асоціативною K-алгеброю з одиницею, тоді її K-спряжений простір A∗, елементами якого є K-лінійні функції з A в K є коалгеброю. Множення в A є лінійним відображенням , яке породжує лінійне відображення спряжених просторів . Через ізоморфність, і в скінченновимірному випадку, це відображення задає комноження на A∗. Коодиницею A∗ є відображення, що оцінює значення лінійних функцій у 1.
Загалом алгебра і коалгебра — двоїсті поняття (аксіоми, що визначають одну, одержуються із аксіом іншої за допомогою обертання стрілок), тоді як для скінченновимірних просторів вони є ще і двоїстими об'єктами.
Примітки
Див. також Алгебра над кільцем Алгебра над полем
Література . Chapter III, section 11. .
.