У математичному аналізі нерівність Ерміта — Адамара, встановлює межі інтегралу опуклої на інтервалі функції:

Нерівності названі на честь Шарля Ерміта і Жака Адамара.

Попри те, що нерівності були відомими досить давно і для них є досить багато застосувань, вони не є настільки добре відомі, як деякі інші властивості опуклих функцій, зокрема нерівність Єнсена.

Доведення

Оскільки функція є опуклою на інтервалі, вона є неперервною і диференційовною справа і зліва у кожній точці інтервалу. Позначимо ліві і праві похідні і відповідно. Для кожного , введемо функцію

для якої

Зокрема для :

Навпаки, зважаючи на опуклість :

Проінтегрувавши отримуємо:

Застосування

Формула Стірлінга. Розглянемо функцію . Вона є опуклою оскільки . Використавши нерівність Ерміта — Адамара на інтервалі отримуємо  .

Звідси для довільного натурального числа або .

Ці нерівності можна використати для доведення формули Стірлінга. Для цього зручніше переписати останню нерівність пропотенціювавши її. Тоді формула Стірлінга може бути отримана, якщо ввести послідовність . Оскільки з означень , то з отриманих вище нерівностей . Звідси відразу отримуємо, що послідовність є спадною і обмеженою знизу, а послідовність є зростаючою і обмеженою зверху. Оскільки то . Тому для кожного натурального числа знайдеться таке , що . Повертаючись до означення послідовності отримуємо . За допомогою, наприклад, формули Валліса можна знайтиДив. наприклад , сторінка 371. , що завершить доведення.

Нерівності між середніми. Розглянемо функцію . Вона є строго опуклою на всій множині дійсних чисел і тому для усіх згідно з нерівністю Ерміта — Адамара .

Якщо взяти для додатних , то отримаємо:

, тобто нерівності між геометричним, логарифмічним і арифметичним середніми.

Тригонометричні нерівності. Розглянемо функцію . На цьому проміжку функція є вгнутою. Тому згідно з нерівністю Ерміта — Адамара (в якій для вгнутих функцій лише треба змінити напрямок нерівностей) для : .

Нехай тепер . Тоді . Використаємо тригонометричні тотожності і . У першій нерівності вище після використання тотожності для різниці косинусів і скорочення отримаємо . У другій нерівності після використання тотожностей для суми синусів і різниці косинусів і скорочень отримаємо . Позначивши , отримаємо відомі нерівності для всіх .

Оцінка точності нерівностей Припустимо, що функція є опуклою і двічі диференційовною в усіх точках інтервалу і також для всіх . Тоді функції і теж є опуклими в цьому інтервалі. Застосування до цих функцій нерівностей Ерміта — Адамара дає оцінки точності

і

Нехай — ліпшицева на інтервалі функція і — константа Ліпшиця цієї функції. Тоді — нерівність Островського, — нерівність Ієнґара.

Див. також Опукла функція

Примітки

Джерела