Ядро в теорії категорій — категорний еквівалент ядра гомоморфізма з загальної алгебри; інтуїтивно, ядро морфізма — «найбільш загальний» морфізм композиція якого із дає нульовий морфізм.
Означення Нехай — категорія з нульовими морфізмами. Тоді ядром морфізма називається морфізм для якого виконується виконується універсальна властивість:
— нульовий морфізм з в :
Для будь-якого морфізма , такого що - нульовий, існує єдиний морфізм , такий що :
Морфізм може не мати ядра. У випадку коли ядра існують то вони є ізоморфними: якщо k : K → X і l : L → X є ядрами f : X → Y, то існує єдиний ізоморфізм φ : K → L для якого l ∘ φ = k.
Приклади У багатьох категоріях це визначення ядра збігається зі звичайним: якщо — гомоморфізм груп або модулів, то ядро в категорному сенсі — вкладення ядра в алгебричному сенсі в прообраз.
Однак в категорії моноїдів ядра в категорному сенсі аналогічні ядрам груп, тому означення ядра в теорії моноїдів трохи відрізняється. У категорії кілець, навпаки, ядер в категорному сенсі не існує взагалі, оскільки не існує нульових морфізмів. Інтерпретувати ядра моноїдів і кілець в теорії категорій можна за допомогою концепції пар ядер.
У категорії топологічних просторів із виділеною точкою якщо f : X → Y є неперервним відображенням таких просторів (тобто образом виділеної точки є виділена точка), то прообраз виділеної точки, K, є підпростором у X. Включення K в X є категорним ядром функтора f.
Зв'язок з іншими категорноми поняттями Двоїсте до ядра поняття — коядро, тобто ядро морфізма — його коядро в двоїстій категорії, і навпаки.
Кожне ядро, є мономорфізмом. Навпаки, мономорфізм називається нормальним, якщо він є ядром іншого морфізма. Категорія називається нормальною, якщо будь-який мономорфізм в ній є нормальним.
Зокрема, абелеві категорії є нормальними. У цій ситуації, ядро коядра морфізма називається його образом. Зокрема кожен мономорфізм є своїм власним образом.
Література И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.