У фізиці конденсованої речовини поверхня Фермі — це поверхня в імпульсному просторі, яка відокремлює зайняті стани від незайнятих станів електронів при нульовій температурі. Форма поверхні Фермі випливає з періодичності та симетрії кристалічної ґратки та із заповнення електронних енергетичних зон. Існування поверхні Фермі є прямим наслідком принципу заборони Паулі, який допускає максимум один електрон на квантовий стан. Вивчення поверхонь Фермі матеріалів називається ферміологією.
Історія У 1900 році Пауль Друде розробив класичну теорію провідності металів і напівпровідників, що пізніше була названа на честь нього. У ній рух електронів крізь тверде тіло описується подібно до руху частинок через в'язку рідину: електрони час від часу стикаються з іонами і зупиняються, а між цими зіткненнями — прискорюються у напрямку дії поля. Модель Друде давала реалістичні передбачення питомого опору металів і закону Ома, проте не могла пояснити ні величезний опір ізоляторів, ні температурні зміни опору.
На початку 20 століття спільними зусиллями багатьох вчених того часу була створена квантова механіка, і у 1920-х роках ця теорія була застосована для пояснення властивостей твердих тіл. Першою вдалою спробою стала модель вільних електронів створена Зоммерфельдом у 1928 роціZur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik. Зоммерфельд уточнив теорію Друде, враховуючи що, через принцип заборони Паулі розподіл енергій електронів описується статистикою Фермі—Дірака.
У 1929 році Фелікс Блох показав, що у періодичному потенціалі, яким є потенціал що створюється кристалічною ґраткою іонів, хвильові функції електронів теж будуть мати періодичну форму (так звані Блохівські хвилі), кожна з яких задається деяким хвильовим векторомÜber die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern.
У статті 1933 року Зоммерфельд і Бете вперше розглянули поверхню на просторі хвильових векторів (обернена ґратка), що розділяє зайняті і незайняті стани за нульової температури, а у 1934 році і Зенер вперше використали термін "поверхня Фермі" для неїLife on the edge: a beginner’s guide to the Fermi surfaceThe theory of the change in resistance in a magnetic field.
Також, у 1934 році Генрі О'Браян і вимірюючи характеристичні спектри експериментально показали, що у реальних металах, за ненульової температури, границя між заповненими і незаповненими рівнями достатньо різка, тобто, поверхня Фермі не розмазується. Проте ці експерименти не могли допомогти встановити реальну форму поверхніCharacteristic X-Rays from Metals in the Extreme Ultraviolet.
У 1930 році був відкритий Ефект де Гааза-ван Альфена для металів у сильному магнітному полі. Того ж року Ландау дав пояснення цьому ефекту, а у 1939 році, Девід Шенберг зміг поставити експеримент, що дозволяв встановити форму поверхні Фермі для бісмута, аналізуючі у магнітному полі. Довгий час вважалося, що такі виміри можуть бути проведені виключно для бісмута через його унікальні властивості, проте у 1947 році Джулс Маркус спостерігав квантові осциляції у цинку, а пізніше вони були знайдені і для інших металів. Втім, виявилося, що форма поверхні Фермі для бісмуту дійсно є унікальною, а тому для інших металів не можна було застосувати ту саму методику обчислень. Проте Ларс Онсагер у 1952 році показав, що періоди цих осциляцій напряму залежать від максимальної площі перерізу поверхні Фермі поверхнею, перпендикулярною напрямку магнітного поля. Відповідно, змінюючи напрямок поля можна отримати деяке уявлення щодо формиMeasuring the Fermi Surface .
У 1954 році Ернест Зондхаймер і Брайан Піппард встановили зв'язок між кривиною поверхні Фермі і анізотропією поверхневого опору при високочастотних коливань поля. Спираючись на цю залежність, у 1957 році Брайан Піппард зміг визначити форму поверхні Фермі для міді.
Способи зображення
Існує кілька способів зобразити поверхню Фермі, які називаються схемами. Найбільш тривіальною є розширена зонна схема, де форма поверхні показується для однієї зони Бріллюена, і якщо поверхня виходить за межі зони, то вона просто малюється у сусідніх зонах (а поверхні цих сусідніх зон не показуються взагалі). Цей спосіб, не зважаючи на простоту, не завжди є зручним: якщо поверхня Фермі перетинає межі першої зони Бріллюена (а така ситуація є досить розповсюдженою), утворюються ділянки, де різні поверхні накладаються одна на одну. Оскільки існування таких ділянок є важливим для розуміння властивостей металу, часто використовуються інші схемиMetals: Electron Dynamics and Fermi Surfaces .
Приведена, або редукована схема: можна зображати лише одну ЗБ, і розглядати усі поверхні Фермі, що потрапили у деяку зону. Вони будуть перекриватися. У цьому випадку, часто позначають ті поверхні, для яких ця зона перша, друга тощо.
Періодична схема: подібна до редукованої, але зображують цілу обернену ґратку (тобто, кілька ЗБ поруч), але малюють тільки ті стани, які є заповненими для зони з деяким номером. Це дозволяє краще зрозуміти взаєморозташування заповнених і незаповнених станів, але потребує більше місця, оскільки кожна зона повинна малюватися окремо.
Теорія
Атоми у кристалах розташовані періодично, тобто, існує деяка трансляційна симетрія — якщо у деякій точці простору є атом, то і у точці
де — базис кристалічної ґратки, а — довільні цілі числа, теж буде атом. Відповідно, потенціал електричного поля, що створюється ґраткою теж є періодичним. Згідно теоремі Блоха хвильові функції електронів у такому потенціалі будуть мати вигляд ,
де — деяка довільна функція що має той же період що і ґратка, тобто , а — деякий хвильовий вектор. Якщо додатково накласти умови скінченності кристала (граничні умови Борна-Кармана), це приведе до відповідного обмеження на можливі значення вектору k: необхідно, щоб хвильова функція з таким періодом була б можлива у випадку константного потенціалу всередині кристала, або, іншими словами, кожна компонента вектора k може приймати лише дискретні значення , де — деякий базис, який залежить від T (, де — символ Кронекера), — кількість періодів гратки вздовж розміру кристала (деяке дуже велике число), а — довільне ціле числоPeriodic Potentials and Bloch's Theorem.
Таким чином, кожному можливому стану електрона в кристалі відповідає деяка точка у просторі хвильових векторів, і у кожному з станів можуть існувати не більш як два електрони. Кожному такому значенню відповідає деяке значення енергії Такий простір називається оберненим простором, оскільки хвильовий вектор має розмірність м−1. Якщо перенести положення всіх атомів нескінченної кристалічної ґратки в обернений простір, то вони теж будуть розташовані періодично, а отже утворювати ґратку з базисними векторами . Для більшості ґраток Браве, обернена ґратка має той же тип що і оригінальна, проте є виключення: оберненої до гранецентрованої кубічної ґратки є об'ємноцентрована кубічна і навпаки, оберненої до гранецентрованої ромбічної ґратки є об'ємноцентрована ромбічна і навпаки.
Можна показати, що два хвильові вектори, і (вираз в дужках часто позначається як ) виражають тотожні стани, а отже можна вибрати одну комірку ґратки у оберненому просторі, що містить лише точки які не можна перетворити одна в одну трансляцією, і розглядати лише її, а решта простору добудовується трансляційною симетрієюобратная решётка. Таку комірку називають першою зоною Бріллюенабриллюэна зона. Існує багато способів вибрати її, але найпопулярнішим є комірка Вігнера — Зейтца, оскільки вона зберігає усі симетрії кристала: для кожного вузла ґратки у комірку потрапляють ті точки, які ближчі до нього ніж до будь-якого іншого вузла. Аналогічно проводячи нормалі до більш далеких сусідів можна будувати другу, третю і т.д. зони.
Розподіл енергій електронів має не такий самий вигляд як розподіл енергій частинок у газі (), а описується статистикою Фермі—Дірака — всі нижні енергетичні рівні є заповненими, а також існує "схил" що складається з частково заповнених рівнів біля верхньої границі, ширина якого зменшується з температурою. Крім того, з тієї ж причини, електрон може змінити свою енергію лише якщо енергетичний рівень на який він хоче перейти — вільний. Через це електрони що знаходяться на нижніх енергетичних рівнях не можуть змінити напрямок свого руху — всі доступні для переходу рівня є зайнятими, що, в свою чергу, сильно збільшує ефективну довжину вільного пробігу.
При понижені температури кількість частково заповнених рівнів стає все меншою, і графік розподілу енергії електронів обривається все більш круто, і при наближенні до абсолютного нуля формується "сходинка", різка границя, де всі стани з меншою енергією заповнені електронами, а всі стани з більшою — незаповнені. Ця границя називається енергією Фермі і позначається як . Оскільки значення енергії і відповідного хвильового вектора пов'язані неперервною функцією, то аналогічну границю можна провести і в просторі хвильових векторів, а з міркувань, описаних вище, вона буде повністю потраплять всередину першої зони Бріллюена.
Хоча кількість станів всередині зони Брілюена залежить від розміру кристала, у тій самій мірі від розміру залежить і кількість електронів, тому доля зайнятих станів у зоні завжди буде однаковою.
Реальні кристали завжди будуть мати температуру відмінну від абсолютного нуля, тому поверхня Фермі "розмазується" деякою мірою — утворюються порожні стани з енергією меншою за енергію Фермі, і зайняті стани з більшою, проте оскільки енергія Фермі у сотні разів перевищує теплову енергію електронів за кімнатної температури, поверхня Фермі все ще є хорошим наближенням реальної ситуації.
Поверхня Фермі може як лежати повністю всередині зони Бріллюена, так і перетинати її границі.
Існування поверхні Фермі Електрони є ферміонами, тому у твердій речовині на них буде діяти принцип Паулі, який буде змушувати їх займати вищі енергетичні рівні. За нульової температури вони щільно займають усі доступні рівні, і існує деякий найвищий зайнятий рівень — енергія Фермі. Це вірно для і для металів і для неметалів. Проте не у всіх кристалів є поверхня Фермі.
Атоми мають енергетичні рівні — дозволені значення енергії для електронів. Якщо кілька атомів зв'язуються у кристал, валентні електрони починають мати трохи відмінні значення енергії (також через принцип Паулі), і відповідно кожен рівень розпадається на кілька підрівнів, відповідно до кількості атомів. Реальні макроскопічні кристали складаються з величезної кількості атомів, порядку 1023, тому говорять про зони, у яких енергетичні рівні, хоч і дискретні, але знаходяться так близько один від одного, що майже неперервні — електрони можуть легко переходити з рівня на рівень всередині зони (якщо на відповідному рівні є вільні місця).
Зони, що відповідають різним рівням можуть накладатися одна на одну, а можуть — ні. В останньому випадку між ними є деякий проміжок, енергії, які не може мати жоден електрон. Такий проміжок називається забороненою зоною. Часто у кристалі є багато зон, заповнених, частково заповнених або порожніх, і багато заборонених зон між ними.
Таким чином, є кілька варіантів розташування рівня Фермі у кристалі. Він може знаходитися посередині деякої зони — тобто, електрони заповнюють цю зону лише частково. Така ситуація, наприклад, характерна для лужних металів — вони мають лише один валентний електрон, проте через те що на одному енергетичному рівні можуть перебувати два електрони, зона виявляється заповненою лише наполовинуALKALI METALS. Він знаходиться у забороненій зоні — у цьому випадку зона що знаходиться під забороненою (вона називається валентною заповнена повністю, а зона над забороненою (зона провідності) — повністю порожня. Електронам щоб перейти на новий рівень необхідно перестрибнути через широку заборонену зону. Ймовірність цього досить низька, тому в вільну для руху зону переходить лише невелика частина електронів. Так рівень Фермі розташовано у напівпровідниках та ізоляторах.