У алгебраїчній теорії чисел і абстрактній алгебрі диферентним ідеалом або диферентою називається деякий ідеал пов'язаний із розширенням дедекіндових кілець. Диферентний ідеал пов'язаний із поняттями дискримінанта і норми ідеалу і є важливим, зокрема для дослідження розгалуження простих ідеалів.
Означення Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, L — скінченне сепарабельне розширення поля K, B — ціле замикання кільця A в L. Нехай L — деяка адитивна підгрупа поля E.
Для неї можна ввести доповнюючу множину L (щодо сліду) як сукупність всіх тих , для яких
L' є адитивною підгрупою у E. Якщо — дві адитивні підгрупи, то . Якщо Al = L то також AL' = L'''.
Зокрема якщо L = B то B' є дробовим ідеалом кільця B. Оскільки B є дедекіндовим кільцем для дробового ідеалу B існує обернений дробовий ідеал у групі дробових ідеалів.
Ідеал називається диферентним ідеалом або диферентою розширення B/A. Диферентний ідеал є звичайним ідеалом кільця B.
У алгебричній теорії чисел цей ідеал також називається відносним диферентним ідеалом. Абсолютним диферентним ідеалом числового поля K називається . цьому випадку використовується позначення .
Якщо — дробовий ідеал кільця B то теж є адитивною підгрупою і диферентним ідеалом цього дробового ідеалу називається дробовий ідеал .
Приклад Нехай , де — число, вільне від квадратів. Тоді для абсолютного диферентного ідеала:
Властивості Диферентний ідеал розширення B/A є звичайним ідеалом кільця B. Диферента довільного дробового ідеалу теж є дробовим ідеалом. Якщо при тих же позначеннях, що і вище — відносний диферентний ідеал і — диферентний ідеал дробового ідеалу то . Диферентний ідеал породжується елементами виду , де і — похідна мінімального многочлена елемента над полем K. Зокрема тоді і тільки тоді коли є головним ідеалом породженим елементом . Якщо є скінченними сепарабельними розширеннями з властивостями, як і вище, то
Нехай S — мультиплікативна система у кільці A. Тоді , де позначає локалізацію кільця за множиною S. , де позначає відносний дискримінант розширення B/A, а — норму ідеалу. У випадку числових полів клас відносного диферента завжди є квадратом у групі класів ідеалів. У загальному випадку це не так. Наприклад Фреліх і Тейт знайшли приклад скінченного сеперабельного розширення функціональних полів однієї змінної для якого відносний диферент не є квадратом. При тих же позначеннях, що і вище і для кожного простого ідеалу кільця B позначимо — поповнення кільця B щодо нормування за ідеалом . У цьому випадку є простим ідеалом кільця A і поповнення за цим ідеалом позначимо . Тоді є справедливою рівність:
Добуток у правій частині має зміст оскільки для всіх простих ідеалів окрім скінченної кількості .
Диферент і розгалуження простих ідеалів Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, L — скінченне сепарабельне розширення поля K, B — ціле замикання кільця A в L. Припустимо також, що для будь-якого простого ідеалу кільця B поле лишків є досконалим.
Нехай тепер — простий ідеал кільця A. Тоді , де — прості ідеали кільця B'', що містять (їх кількість є скінченною), а називаються індексами розгалуження ідеалів . Якщо то кажуть, що відповідний ідеал розгалужується.
Розгалуження є тісно пов'язані із диферентами. А саме простий ідеал розгалужується тоді і тільки тоді коли він ділить диферент . До того ж якщо характеристика поля не ділить , то найбільшим степенем на який ділиться є . В іншому випадку ділиться на вищий степінь ідеалу .
Див. також Дискримінант (теорія полів) Норма ідеалу
Література