Теорема Каца-Бернштейна є однією з перших та найвідоміших характеризаційних теорем математичної статистики. Вона стверджує, що незалежність суми та різниці двох незалежних випадкових величин характеризує нормальний розподіл (розподіл Гауса). Ця теорема була доведена незалежно польсько-американським математиком Марком КацомM. Kac. On a characterization of the normal distribution // American Journal of Mathematics. — 1939. — Vol. 61. — P. 726–728. та радянським математиком С.Н. БернштейномS. N. Bernstein. On a property which characterizes a Gaussian distribution // Proceedings of the Leningrad Polytechnic Institute. — 1941. — Vol. 217, No. 3. — P. 21–22..
Формулювання теореми Нехай та — незалежні випадкові величини. Якщо та незалежні, то та нормально розподілені.
Узагальненням теореми Каца-Бернштейна є теорема Скитовича-Дармуа, в якій нормальний розподіл характеризується незалежністю двох лінійних форм від незалежних випадкових величин.
Узагальнення на локально компактні абелеви групи
Перші роботи, присвячені узагальненню теореми Каца—Бернштейна на локально компактні абелеві групи, належать А. Л. РухінуA. L. Rukhin. On a theorem of S. N. Bernshtein // Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR. — 1969. — Vol. 6. — P. 638–641. — doi:10.1007/BF01119683., а також Г. Хейеру та Х. РоллуH. Heyer, Ch. Rall. Gaußsche Wahrscheinlichkeitsmaße auf Corwinschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift. — 1972. — Vol. 128. — P. 343–361. — doi:10.1007/BF01111573.. У цих роботах досліджувалося таке питання. Нехай — локально компактна абелева група, та — незалежні випадкові величини зі значеннями в та розподілами і . Для яких груп з незалежності та випливає, що та є згортками розподілів Гауса та ідемпотентних розподілів? В та було отримано деєкі достатні умови. Остаточний результат було отримано Г. М. Фельдманом, який довів таку теорему.
ТеоремаG. M. Feldman. Bernstein Gaussian distributions on groups // Theory of Probability and Its Applications. — 1987. — Vol. 31, No. 1. — P. 40–49. — doi:10.1137/1131003., див. також G. Feldman. Characterization of Probability Distributions on Locally Compact Abelian Groups. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2023. — (Mathematical Surveys and Monographs; Vol. 273). — ISBN 978-1-4704-7295-5.. Нехай — локально компактна абелева група, яка задовольняє другу аксіому злічуваності. Нехай та — незалежні випадкові величини зі значеннями в та розподілами і . Для того щоб з незалежності та випливало, що та є згортками розподілів Гауса та ідемпотентних розподілів, необхідно і достатньо, щоб зв'язна компонента нуля групи не містила елементів порядку 2.
Примітки