Теорема Крамера про розклад нормального розподілу — твердження в теорії ймовірностей. Легко бачити, що якщо випадкові величини і незалежні та нормально розподілені, то їх сума також нормально розподілена. Виявляється, що має місце і зворотнє твердження. Цей результат був передбачений П.Леві та доведений H. Cramér. Über eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfunktion // Mathematische Zeitschrift. — 1936. — Vol. 41, No. 1. — P. 405–414.. Наслідком отримання цього результату було виникнення нового напрямку в теорії ймовірностей — теорії розкладів випадкових величин на незалежні доданки (арифметики ймовірнісних розподілів)Ju. V. Linnik, I. V. Ostrovskii. Decomposition of Random Variables and Vectors. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1977. — (Translations of Mathematical Monographs; Vol. 48). — ix+380 pp.. Формулювання теореми Нехай випадкова величина має нормальний розподіл та представлена у вигляді суми двох незалежних випадкових величин . Тоді випадкові величини та також нормально розподілені.
Доведення теореми спирається на теорію цілих функцій. Узагальнення на локально компактні абелеві групи
Наступна теорема дає повний опис локально компактних абелевих груп, на яких теорема Крамера має місце.
ТеоремаG. M. Fel'dman. On the decomposition of Gaussian distributions on groups // Theory of Probability and Its Applications. — 1977. — Vol. 22, No. 1. — P. 133–140., див. також G. M. Fel'dman. Arithmetic of Probability Distributions, and Characterization Problems on Abelian Groups. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1993. — (Translations of Mathematical Monographs; Vol. 116). — 223 pp.. Нехай випадкові величини , та приймають значення в локально компактній абелевій групі , яка задовольняє другу аксіому зліченності. Нехай має розподіл Гауса та та незалежні. Тоді з випливає що та мають розподіли Гауса тоді і лише тоді, коли група не містить підгрупи, топологічно ізоморфної групі обертів кола, тобто мультиплікативній групі комплексних чисел, модуль яких дорівнює 1. Див. також Теорема Райкова Теорема Линника про розклад згортки нормального розподілу та розподілу Пуассона Примітки