Щодо гомеоморфізму в теорії графів див. Гомеоморфізм (теорія графів).

Не плутати з гомоморфізмом.

Топологічна еквівалентність перенаправляється сюди.

Для топологічної еквівалентності в динамічних системах, див. Топологічна спряженість.

У математичній частині топології гомеоморфізм, топологічний ізоморфізм або неперервна в обох напрямках функція — це неперервна функція між топологічними просторами, яка має неперервну обернену функцію. Гомеоморфізми є ізоморфізмами в категорії топологічних просторів, тобто відображення, що зберігають усі заданого простору. Два простори з гомеоморфізмом між ними називаються гомеоморфними, і з топологічної точки зору вони однакові. Слово гомеоморфізм походить від грецьких слів homoios (подібний) і morphe (форма) і було введено у математику в 1895 році Анрі Пуанкаре.

Грубо кажучи, топологічний простір — це геометричний об'єкт, а гомеоморфізм — це неперервне розтягування і вигинання об'єкта в нову форму. Таким чином, квадрат і коло гомеоморфні один одному, а сфера і тор — ні. Однак цей опис може бути хибним. Деякі неперервні деформації не є гомеоморфізмами, наприклад, деформація прямої в точку. Деякі гомеоморфізми не є неперервними деформаціями, наприклад, гомеоморфізм між вузлом трилисника і колом. Часто повторюваний математичний жарт полягає в тому, що топологи не можуть відрізнити чашку кави від пончика, оскільки досить пластичному пончику можна надати форму чашки для кави, створивши ямку та поступово збільшуючи її, зберігаючи при цьому отвір для пончика в ручці чашки.

Означення Нехай і  — два топологічні простори.

Функція називається гомеоморфізмом, якщо вона взаємно однозначна, а також і неперервні.

Простори та у цьому випадку називаються гомеоморфними або топологічно еквівалентними.

Гомеоморфізм іноді називають взаємно неперервною функцією. Якщо така функція існує, то простори та є гомеоморфними. Автогомеоморфізм — це гомеоморфізм з топологічного простору на себе. Бути гомеоморфним — це відношення еквівалентності на топологічних просторах. Такі класи еквівалентності називаються гомеоморфними класами.

Властивості

Два гомеоморфні простори мають однакові . Наприклад, якщо один з них компактний, то і другий також компактний; якщо один з них зв'язний, то й другий також зв'язний; якщо один з них хаусдорфів, то й інший також хаусдорфів; їхні гомотопічні та гомологічні групи співпадають. Варто зауважити, що це не поширюється на властивості, які визначені за допомогою метрики; існують метричні простори, які є гомеоморфними, хоча один з них є повним, а інший — ні. Гомеоморфізм є одночасно і відображенням; тобто він відображає відкриті множини у відкриті множини і замкнені множини у замкнені множини. Будь-який автогомеоморфізм на можна розширити до автогомеоморфізму на усьому диску .

Приклади Довільний відкритий інтервал гомеоморфний всій числовій прямій . Гомеоморфізм задається, наприклад, формулою

Одиничний двовимірний диск і одиничний квадрат в є гомеоморфними, оскільки одиничний диск можна деформувати в одиничний квадрат. Прикладом взаємно неперервного відображення квадрату в диск в полярних координатах є .

Графік диференційованої функції гомеоморфний області визначення цієї функції. Два гомеоморфних простори мають однакові топологічні властивості. Наприклад, якщо один компактний, інший компактний теж; якщо один є зв'язним, зв'язним буде і другий; якщо один є гаусдорфовим, інший буде теж; їхні гомологічні групи збігатимуться. Але це не поширюється на властивості, похідні від метрики; з двох метричних гомеоморфних просторів один може бути повним, в той час як другий — ні. Гомеоморфізм відображає відкриті множини на відкриті, і замкнені множини — на замкнені. Стереографічна проєкція — це гомеоморфізм між одиничною сферою в з вилученою точкою і сукупністю всіх точок двовимірної площини . Якщо  — топологічна група, то її відображення інверсії є гомоморфізмом. Також для будь-яких лівий зсув , правий зсув , і внутрішній автоморфізм є гомеоморфізмами.

Приклади відсутності гомеоморфізму

і не є гомоморфізмом при . Евклідова дійсна пряма негомеоморфна одиничному колу як підпростору , оскільки одиничне коло є компактом як підпростір евклідового простору , а дійсна пряма лінія не є компактом. Одновимірні інтервали і не є гомеоморфними, оскільки неможливо побудувати неперервну бієкцію.

Теорема про гомеоморфізм Нехай  — інтервал на числовій прямій (відкритий, напіввідкритий або замкнутий).

Нехай  — бієкція.

Тоді є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді, коли є строго монотонна і неперервна на .

Зауваження

Третя умова щодо неперервності відображення є суттєвою. Розглянемо, наприклад, функцію ( — одиничне коло в ) визначену як . Ця функція є бієктивною і неперервною, але не є гомеоморфізмом компактом, а  — ні). Функція не є неперервною в точці тому, що хоча відображає в , але будь-який окіл цієї точки також включає точки, які функція відображає в точки близькі до . При цьому точки, які вона відображає у числа між ними, лежать за межами цього околу.Väisälä, Jussi: Topologia I, Limes RY 1999, p. 63. .

Гомеоморфізми — це ізоморфізм в категорії топологічних просторів.

Таким чином, композиція двох гомеоморфізмів знову є гомеоморфізмом, і множина всіх автогомеоморфізмів утворює групу, яку називають топологічного простору , яку часто позначають . На цій групі можна задати топологію, наприклад, компактно-відкриту топологію, яка за певних припущень робить її топологічною групою.

Для деяких цілей гомоморфічна група виявляється занадто великою, але за допомогою ізотопічного співвідношення можна звести цю групу до . Аналогічно, як зазвичай в теорії категорій, для заданих двох гомеоморфних просторів простір гомеоморфізмів між ними є для груп гомеоморфізмів і і, враховуючи певний гомеоморфізм між і , всі три множини є ідентифікованими.

Неформальна дискусія

Інтуїтивний критерій розтягування, згинання, розрізання та зворотнього склеювання вимагає певної практики для правильного застосування, з опису вище — може бути неочевидним, наприклад, що деформація відрізка прямої до точки неприпустима. Тому важливо розуміти, що це має наведене вище формальне означення. У цьому випадку, наприклад, відрізок прямої має нескінченну кількість точок, і тому для нього не можна побудувати бієкцію з множиною, що містить лише скінченну кількість точок, зокрема і одну точку.

Така характеристика гомеоморфізму часто призводить до плутанини з поняттям гомотопії, яка насправді визначається, як неперервна деформація, але від однієї функції до іншої, а не від одного простору до іншого. У випадку гомеоморфізму уявлення про неперервну деформацію — це розумовий інструмент для відстеження того, які точки простору відповідають яким точкам простору  — потрібно лише слідкувати за ними по мірі деформації простору . У випадку гомотопії неперервна деформація від одного відображення до іншого має істотне значення, і воно також менш обмежувальне, оскільки жодне із залучених відображень не повинне бути один-до-одного або на. Гомотопія дійсно призводить до відношення на просторах: гомотопічна еквівалентність.

Існує назва для виду деформації, пов'язаної з візуалізацією гомеоморфізму. Це (за винятком випадків, коли потрібні розрізати та повторно склеювати) ізотопія між тотожним відображенням на та гомеоморфізмом з в .

Див. також Локальний гомеоморфізм Диффеоморфізм — ізоморфізм гладких многовидів; гладка бієкція з гладкою інверсією. Рівномірний ізоморфізм — рівномірний неперервний гомеоморфізм — це ізоморфізм між рівномірними просторами. Ізометричний ізоморфізм — це ізоморфізм між метричними просторами. . . Гомеоморфізм (теорія графів) — поняття в теорії графів (тісно пов'язане з поділом графів). Гомотопія, ізотопія — неперервна деформація між двома неперервними функціями. Група класів відображень — група ізотопічних класів групи топологічних автоморфізмів. Гіпотеза Пуанкаре — теорема геометричної топології, сформульована Анрі Пуанкаре і доведена Григорієм Перельманом. .

Література

Зовнішні посилання