-многовид — семивимірний ріманів многовид , група голономії якого міститься у компактній винятковій простій групі Лі . Такі многовиди є Річчі-плоскими, орієнтовними та допускають спінорну структуру.
-структура Еквівалентно -многовид можна описати за допомогою спеціальної диференціальної 3-форми . На орієнтованому семивимірному многовиді така форма визначає -структуру, а разом із нею — ріманову метрику та орієнтацію.
Структура називається безкрученною, якщо
де — оператор Годжа для метрики, визначеної формою . Ці умови еквівалентні паралельності форми,
а отже й умові .
Групу можна також характеризувати як групу автоморфізмів октоніонів. Цим пояснюється тісний зв'язок -геометрії із семивимірним аналогом векторного добутку.
Приклади та історія входить до списку можливих спеціальних груп голономії незвідних ріманових многовидів. Тривалий час не було відомо, чи існують метрики, голономія яких справді дорівнює . 1987 року Роберт Браянт довів існування таких метрик і побудував локальні приклади.
1989 року Браянт і Саймон Саламон побудували перші повні некомпактні метрики з голономією , зокрема на та на розшаруваннях над чотиривимірними многовидами.
Перші компактні приклади побудував Домінік Джойс у 1996 році, використавши розв'язання особливостей орбіфолдів, отриманих як фактори семивимірного тора. Іншу важливу конструкцію компактних -многовидів запропонував Олексій Ковальов: його метод скрученої зв'язної суми () склеює відповідні асимптотично циліндричні многовиди Калабі — Яу.
У теоретичній фізиці -многовиди мають значення в М-теорії. Компактифікація одинадцятивимірної М-теорії на многовиді з голономією дає чотиривимірну теорію з мінімальною суперсиметрією. Особливості таких многовидів відіграють важливу роль, зокрема, в отриманні хіральних ферміонів у чотиривимірній ефективній теорії.
Див. також Многовид Калабі — Яу Октоніони
Зноски