Формула монотонності — класична теорема про мінімальні поверхні. Вона стверджує зокрема, що площа перетину мінімальної поверхні без межі з кулею з центром на поверхні не може бути менше площі кола того ж радіуса.
Формулювання Припустимо є -вимірна мінімальна поверхня в Евклідовому просторі і . Позначимо через мінімальну відстань від до межі .
Тоді функція
монотонно зростає в інтервалі ; тут позначає -вимірну площу і — кулю радіуса з центром в .
Наслідки
Для , і як в формулюванні виконується нерівність
при ; тут позначає об'єм одиничної кулі в -вимірному евклідовому просторі. Більш того, якщо є точкою самопересеченія то
при .
Застосування Еколм і Уайт застосували формулу монотонності в доведенні того, що мінімальна поверхня натягнута на контур з варіацією повороту 4π або менше є вкладеною. Бренді і Хунг застосували узагальнену формулу монотонності для оцінки площі перетину мінімальної поверхні з кулею центр якого знаходиться поза поверхнею.
Література