У алгебричній геометрії поняття відокремлюваних схем є певною мірою аналогом гаусдорфових просторів у загальній топології. Зокрема топологічний простір є гаусдорфовим тоді і тільки тоді коли діагональ є замкнутою у . Стандартне означення гаусдорфових просторів не має особливого змісту для схем. Зокрема для афінної схеми із топологією Зариського, якщо нільрадикал кільця R є простим ідеалом, то перетин довільних двох відкритих множин є непустим.

Натомість перенесення означення за допомогою діагоналі приводить до змістовних понять відокремлюваних схем і морфізмів.

Означення

Нехай морфізм схем і проєкції розшарованого добутку з собою на компоненти. Згідно з універсальною властивістю розшарованого добутку існує єдиний морфізм -схема для якого . Цей морфізм називається діагональним морфізмом для над . Образ цього морфізму називається діагоналлю .

Морфізм схем називається відокремлюваним морфізмом якщо діагональ є замкнутою множиною.

-схема називається відокремлюваною якщо структурний морфізм є відокремлюваним.

Схема називається відокремлюваною схемою якщо канонічний морфізм є відокремлюваним.

Приклади

Усі афінні схеми є відокремлюваними. Більш загально будь-який морфізм афінних схем є відокремлюваним.

Будь-який морфізм афінних схем породжується гомоморфізмом кілець Розглядаючи кільце A як B-алгебру через це відображення можна записати Діагональний морфізм:

відповідає гомоморфізму

Оскільки є очевидно сюр'єктивним гомоморфізмом то є замкнутою іммерсією і морфізм є відокремлюваним. Якщо взяти то одержується твердження для афінних схем.

Дві копії і афінної при ідентифікації відкритих множин і утворюють невідокремлювану схему над . Дана схема називається афінною прямою із подвоєним початком координат.

Дійсно позначаючи цю схему Z одержуємо, що можна отримати із чотирьох афінних площин в яких усі точки окрім початку координат ідентифікуються. Таким чином у початку координат є чотири точки. Замикання у діагоналі афінної площини без початку координат міститьусі чотири точки в початку координат Натомість діагональний морфізм одержується склеюванням діагональних морфізмів і Образом при цьому є діагональ без початку координат і дві точки у початку координат. Цей образ не є замкнутою множиною.

Властивості

Замкнуті і відкриті іммерсії є відокремлюваними морфізмами. Якщо є відокремлюваним морфізмом, то для всіх морфізм (забіна бази) є відокремлюваним. Розшарований добуток відокремлюваних -схем є відокремлюваною -схемою. Композиція відокремлюваних морфізмів є відокремлюваним морфізмом. Твердження нижче є еквівалентними:

є відокремлюваною схемою; існує відокремлюваний морфізм у деяку афінну схему; кожен морфізм є відокремлюваним.

Якщо є морфізмами із редукованої схеми у відокремлювану схему і існує щільна відкрита множина для якої , то . Нехай є морфізмом -схем і є відокремлюваною над . Тоді граф морфізма є замкнутою множиною у . Графом морфізма за означенням є образ морфізма . Алгебричні групи є завжди відокремлюваними.

Література