Подільна група — група , така що для будь-яких і рівняння
має розв'язок. Часто група вважається абелевою, а умова записується в адитивній нотації як .
Група називається -подільною ( — просте число), якщо для будь-якого рівняння має розв'язок в .
Приклади
Група всіх раціональних чисел і всі її факторгрупи, зокрема Будь-які циклічні і загалом скінченнопороджені абелеві групи не є подільними. Стандартні групи є подільними. -примарна квазіциклічна група , тобто група, породжена зліченним набором елементів , які задовольняють умову
Еквівалентно цю групу можна описати як
Мультиплікативна група комплексних чисел Прикладами некомутативних подільних груп є унітарні групи U(n). Кожна матриця із такої групи є діагоналізовною за допомогою унітарної матриці. Тоді якщо в усіх діагональних елементах взяти корінь довільного цілого степеня одержується унітарна матриця, що є коренем відповідного рівняння. Подібним чином подільними також є спеціальні унітарні групи SU(n) оскільки корені на діагоналі можна завжди обрати так щоб їх добуток був рівним 1. Мультиплікативна група кватерніонів теж є некомутативною подільною групою. Зокрема одиничні кватерніони ізоморфні групі:
Ізоморфізм здійснюється за допомогою:
Тому результат для кватерніонів є частковим випадком попереднього прикладу.
Властивості подільних груп
Гомоморфні образи і факторгрупи подільної групи є подільними групами.
Якщо є гомоморфізмом груп то для елемента елемент є розв'язком рівняння де b є розв'язком рівняння (він існує, оскільки G є подільною).
Абелева група G є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є ін'єктивним об'єктом у категорії абелевих груп, тобто ін'єктивним - модулем. З означення ін'єктивного модуля в термінах теорії груп це означає, що G є подільною тоді і тільки тоді, якщо для довільних абелевих груп і гомоморфізму існує гомоморфізм такий що
Якщо G не є подільною то існують що рівняння не має розв'язку. Нехай тепер Якщо задати гомоморфізм з U в G, для якого образом n є g, то для будь-якого продовження цього гомоморфізму на H образом 1 має бути елемент, що є розв'язком рівняння Оскільки такого елемента не існує, то і не існує відповідного продовження гомоморфізму і G не є ін'єктивним об'єктом. Нехай тепер G є подільною. Розглянемо множину всіх підгруп у H, що містять U і для яких існує гомоморфізм що продовжує гомоморфізм Ця множина непуста оскільки їй належить U. Будь-яка лінійно впорядкована підмножина у має верхню межу: об'єднання підгруп. Тоді згідно леми Цорна у існує максимальний елемент H' із гомоморфізмом що продовжує . Припустимо, що H' є власною підгрупою у H і Якщо то можна продовжити на взявши довільний образ для h. Якщо ж містить елемент nh де n — найменше з таких додатних чисел, то за образ h можна взяти розв'язок рівняння В обох випадках існує продовження на більшу підгрупу, що суперечить максимальності. Отже H = H і продовження існує на всю групу H. Тобто G є ін'єктивним об'єктом. Зауваження. Умова комутативності в даному випадку є важливою. Єдиним ін'єктивним об'єктом категорії груп є одинична група. Наприклад, нехай U є вільною групою породженою двома елементами x і y, а H є напівпрямим добутком групи U і циклічної групи порядку 2 неодиничний елемент z якої задає автоморфізм на U, що на породжуючих елементах є рівним . Група U може розглядатися як підгрупа H елементів виду Нехай гомоморфізм задається через породжуючі елементи як Для продовження цього гомоморфізму на H спершу: Також:
Звідси . Тому якщо G не є одиничною групою і то гомоморфізм заданий вище не можна продовжити на H.
Абелева група є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є -подільною при кожному простому . Будь-яка пряма сума подільних абелевих груп є подільною групою. Кожна подільна підгрупа є прямим доданком групи. Кожна абелева група є ізоморфною підгрупі подільної абелевої групи.
Група є підгрупою подільної групи а тому пряма сума є підгрупою що є подільною групою, як пряма сума подільних груп. Оскільки будь-яка абелева група є факторгрупою деякої то вона є підгрупою деякої факторгрупи що є подільною, як факторгрупа подільної групи.
Для кожної абелевої групи G існує єдина з точністю до ізоморфізму подільна група вкладення G в яку є істотним мономорфізмом. Ця група називається ін'єктивною оболонкою групи G. Ін'єктивна оболонка є мінімальним елементом за включенням серед подільних груп у які існує вкладення групи G. Будь-яка абелева група розкладається в пряму суму , де - подільна група (вона називається подільною частиною групи ), а - редукована група, тобто група, яка не містить ненульових подільних підгруп. Якщо є кільцем і подільною групою, то є ін'єктивним -модулем.
Будова подільних груп
Нехай G — подільна група. Тоді підгрупа кручення Tor(G) G є подільною. Оскільки подільна група є ін'єктивним модулем, Tor(G) є прямим доданком G. Тому
Як факторгрупа подільної групи G/Tor(G) є подільною. Також вона є групою без кручень і тому є векторним простором над Q. Тож існує множина I, для якої
Структура підгрупи кручення є складнішою. Для всіх простих чисел p існує множина , для якої
де є p-примарна компонента Tor(G).
Якщо множину простих чисел позначити P, то:
Потужності множин I і Ip для p∈P''' є однозначно визначеними G.
Див. також
Вільна абелева група Ін'єктивний модуль Ін'єктивний об'єкт
Примітки
Джерела
И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов.'' — М.: Мир, 1972.