У теорії категорій, поняття проєктивного об'єкта узагальнює проєктивні модулі. Проєктивні об'єкти у абелевих категоріях широко використовуються у гомологічній алгебрі. Двоїстим до проєктивних об'єктів є ін'єктивні об'єкти.
Означення Об'єкт у категорії називається проєктивним якщо для довільного епіморфізма і морфізма , існує морфізм для якого , тобто існує комутативна діаграма:
У локально малій категорії є проєктивним якщо і тільки якщо функтор Hom
зберігає епіморфізми.
Абелеві категорії
Нехай — локально мала абелева категорія. У цьому випадку об'єкт називається проєктивним об'єктом якщо
є точним функтором, де є категорією абелевих груп.
Іншими еквівалентними означеннями у цьому випадку є
Функтор Hom переводить коядра об'єктів у коядра. Функтор Hom переводить ковирівнювачі у ковирівнювачі. Функтор Hom переводить кодекартові квадрати у кодекартові квадрати. Кожна послідовність виду
є точною у тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто є ізоморфним прямій сумі .
Властивості
Кодобуток двох проєктивних об'єктів є проєктивним об'єктом. Ретракт проєктивного об'єкта є проєктивним.
Достатньо проєктивних об'єктів Нехай — абелева категорія. Кажуть, що має достатньо проєктивних об'єктів якщо для кожного об'єкта у існує проєктивний об'єкт у і точна послідовність
Іншими словами є епіморфізмом.
Приклади Твердження про те, що всі множини є проєктивними об'єктами є еквівалентним аксіомі вибору. Проєктивний об'єктами у категорії абелевих груп є вільні абелеві групи. Нехай — кільце з 1. Розглянемо (абелеву) категорію лівих -модулів . Проєктивними об'єктами у є проєктивні ліві R-модулі. Зокрема є проєктивним об'єктом у Категорія лівих (правих) -модулів має достатньо проєктивних об'єктів. Це випливає з того, що для кожного лівого (правого) -модуля , можна взяти вільний (а відтак проєктивний) -модуль породжений елементами і канонічна проєкція буде необхідним сюр'єктивним відображенням.
Примітки
Див. також Ін'єктивний об'єкт Проєктивний модуль