Інтеграл АбеляПоходить від прізвища норвезького математика Нільса Абеля. — інтеграл від алгебричної функції вигляду:
де — будь-яка раціональна функція від змінних і , пов'язаних алгебричним рівнянням
з цілими раціональними за коефіцієнтами . Рівнянню (2) відповідає компактна ріманова поверхня , що у шарів покриває сферу Рімана, на якій , а відповідно, і , що розглядаються як функції точки поверхні , однозначні.
Нехай функція задається рівнянням
де правий поліном не має кратних коренів. У цьому випадку функція є еліптичним інтегралом. Вона визначена із точністю до де - пара комплексних чисел, - цілі. множина чисел типу утворює ґратку Таким чином, із еліптичним інтегралом пов'язаний тор
Рівняння задає на площині Якщо доповнити до проективного простору додавши нескінченно віддалену пряму і замкнувши її у отримаємо неособливу замкнену криву (тобто компактну ріманову поверхню), еліптичну криву, яка є ізоморфною Нехай маємо еліптичну функцію Вайєрштрасса:
Вона є мероморфною функцією із ґраткою періодів Її похідна і вона сама пов'язані рівнянням
для декотрих констант які залежать від гратки Таким чином, є мероморфним відображенням на компактифікацію кривої, заданої на комплексній площині. Проективні криві є ізоморфними.
Досліджуючи абелеві функції, Ріман зконструював поверхні (криві ) за допомогою розрізів та зклеювань на комплексній поверхні. Нехай є простором голоморфних 1-форм на компактній рімановій поверхні із базисом Також нехай є базисом у просторі 1-гомологій на . Тоді
є періодами на . Вони утворюють матрицю періодів, яка залежить від вибору базисів у та Ці періоди дозволяють відтворити криву .
Примітки
Джерела
Посилання