Зачеплення Гопфа — найпростіше нетривіальне зачеплення з двома і більше компонентами , складається з двох кіл, зачеплених одноразово і назване на честь Гайнца Гопфа.

Геометричне подання Конкретна модель складається з двох окремих кіл в перпендикулярних площинах, таких, що кожне проходить через центр іншого. Ця модель мінімізує (довжина мотузки — інваріант теорії вузлів) зачеплення і до 2002 року зачеплення Гопфа було єдиним, у якого довжина мотузки була відома . Опукла оболонка цих двох кіл утворює тіло, зване олоїдом.

Властивості

Залежно від відносної орієнтації двох компонент коефіцієнт зачеплення Гопфа дорівнює ±1.

Зачеплення Гопфа є (2,2)-торичним зачепленням з описовим словом .

Доповнення зачеплення Гопфа — , циліндр над тором. Цей простір має локально евклідову геометрію, так що зачеплення Гопфа не є гіперболічним. Група вузлів зачеплення Гопфа (фундаментальна група його доповнення) — це (вільна абелева група на двох генераторах) і вона відрізняє зачеплення Гопфа від двох незачеплених кіл, яким відповідає вільна група на двох генераторах.

Зачеплення Гопфа не може бути . Це безпосередньо випливає з факту, що зачеплення можна розфарбувати лише у два кольори, що суперечить другій частині визначення розмальовки. В кожному перетині буде максимум 2 кольори, так що при розфарбуванні ми порушимо вимогу мати 1 або 3 кольори в кожному перетині, або порушимо вимогу мати більше 1 кольору.

Розшарування Гопфа Розшарування Гопфа — це неперервне відображення з 3-сфери (тривимірна поверхня в чотиривимірному евклідовому просторі) в більш звичну 2-сферу, таке, що прообраз кожної точки на 2-сфері є колом. Таким чином виходить розкладання 3-сфери на безперервне сімейство кіл і кожні два різних кола з цього сімейства утворюють зачеплення Гопфа. Цей факт і спонукав Гопфа зайнятися вивченням зачеплень Гопфа — оскільки будь-які два шари зачеплені, розшарування Гопфа є нетривіальним розшаруванням. З цього почалося вивчення .

Історія

Зачеплення названо ім'ям тополога Гайнца Гопфа, який досліджував його в 1931 році в праці про розшарування Гопфа. Однак таке зачеплення використовував ще Гаусс, а поза математикою воно зустрічалося задовго до цього, наприклад, в якості герба японської буддійської секти , заснованої в XVI столітті.

Див. також

Катенани, хімічні сполуки з двома механічно зчепленими молекулами Вузол Соломона, два кільця з подвійним зачепленням

Примітки

Література

Посилання

Hopf link , The Knot Atlas