Білінійне відображення — це відображення декартового добутку V × W в X B : V × W → X, (V,W,X — векторні простори над одним і тим самим полем F) що володіє властивістю лінійності за кожним зі своїх аргументів. Тобто для кожного w з W відображення v → B(v, w) є лінійним відображенням з V в X. І для кожного v з V відображення w → B(v, w) є лінійним відображенням з W в X.
- це лінійне відображення від до . Іншими словами, коли ми тримаємо перший запис білінійного відображення фіксованим, дозволяючи другому запису змінюватися, результат є лінійним оператором і аналогічно, коли ми тримаємо другий запис фіксованим. У випадку Таке відображення задовольняє наступним властивостям. . Відображення є добавкою в обох компонентах: якщо і , тоді and . Якщо , і ми маємо для всіх v, w in V, то ми говоримо , що B є симетричним . Якщо X - базове поле F , то відображення називають білінійною формою, яка добре вивчена (див., Наприклад, скалярний добуток, внутрішній добуток і квадратична форма). Модулі Роботи визначення без будь - яких змін , якщо замість векторних просторів над полем F , ми використовуємо модулі над комутативним кільцем R. Він узагальнює n-ари функції, де власний термін є мультилінійним. Для некомутативних кілець R і S, лівого R -модуля M і правого S -модуля N білінійне відображення - це відображення з T - бімодуля , і для якої будь-який n в N , - R - модульний гомоморфізм, і для будь-якого m в M , - модульний гомоморфізм. Це задовольняє B(r ⋅ m, n) = r ⋅ B(m, n) B(m, n ⋅ s) = B(m, n) ⋅ s для всіх m в M , n в N , r в R і s в S , а також B, який є адитивним у кожному аргументі.
Властивості
Приклади Множення матриць є білінійним відображенням M(m,n) × M(n,p) → M(m,p). Для векторного простору V над полем F, білінійна форма в V — це білінійне відображення V × V → F. Векторний добуток в R3 є білінійним відображенням R3 × R3 → R3.
Див. також Білінійна форма
Джерела