Теорема Ґронвала про площу — твердження у комплексному аналізі про властивості функцій, що є голоморфними і однолистими на доповненні закритого одиничного круга. Назва теореми пов'язана із геометричною інтерпретацією, яка використовується при доведенні нерівності у твердженні теореми. Теорема є важливою у теорії однолистих функцій. Зокрема за її допомогою доводиться нерівність Бібербаха і теорема Кебе про чверть.
Доведена шведським математиком Томасом Ґронвалом у 1914 році.
Твердження Нехай голоморфна функція
є однолистою на |z| > 1. Тоді
Доведення При доведенні розглядається образ відображення Доповнення до області значень цієї функції матиме невід'ємну площу, що і використовується при доведенні.
Для кола образом при дії функції g буде аналітична замкнута проста крива рівняння якої буде де Обчислимо площу А скінченної області, що обмежена цією кривою, вважаючи
Здійснивши обчислення і помітивши, що в результаті інтегрування пропадуть всі члени, які містять в цілій степені, не рівній нулю отримаємо:
і враховуючи додатність цієї площі то також
Ряд є збіжним. В іншому випадку його сума була б нескінченною і тому для будь-якого M > 1 сума перших N доданків була б більшою за M для деякого N. Тоді обираючи r можна також зробити, що що суперечить попереднім нерівностям, якщо також вибрати r для якого r2 < M)
Переходячи до границі для остаточно
Примітки
Література
. .