Експонента — показникова функція , де — число Ейлера .
Визначення Експоненціальна функція може бути визначена різними еквівалентними способами. Наприклад, через ряд Тейлора:
або через границю:
Тут — будь-яке комплексне число.
Властивості
, а зокрема, експонента — єдине рішення диференціального рівняння з початковими даними . Крім того, через експоненту виражаються загальні рішення однорідних диференціальних рівнянь. Експонента визначена на всій дійсній осі. Вона всюди зростає і строго більше нуля. Експонента — опукла функція. Обернена функція до неї — натуральний логарифм . Фур'є-образ експоненти не існує. Однак перетворення Лапласа існує. Похідна в нулі дорівнює , тому дотична до експоненті в цій точці проходить під кутом . Основна функціональна властивість експоненти, як і всякої показникової функції: . Безперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює , або має вигляд , де — деяка константа.
, де і — гіперболічні синус і косинус.
Комплексна експонента
Комплексна експонента — математична функція, що задається співвідношенням , де є комплексне число. Комплексна експонента визначається як аналітичне продовження експоненти речовинного змінного :
Визначимо формальний вираз
.
Визначений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції , тобто показати, що розкладається в деякий збіжний ряд, що збігається до даної функції . Покажемо це:
Збіжність цього ряду легко доводиться:
.
Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі усюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції . Згідно теореми єдиності, отримане продовження буде єдино, отже, на комплексній площині функція всюди визначена і аналітична.
Властивості
Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. В жодній точці вона не звертається в нуль. — періодична функція з основним періодом 2πi: . У силу періодичності комплексна експонента безкінечнолистна. В якості її області однолистності можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою . — єдина з точністю до постійного множника функція, похідна (а відповідно, і первісна) якої збігається з вихідною функцією. Алгебраїчно експонента від комплексного аргументу може бути визначена наступним чином: (формула Ейлера) Зокрема, має місце (тотожність Ейлера),
Варіації та узагальнення Аналогічно експонента визначається для елемента довільної асоціативної алгебри. У конкретному випадку потрібен також доказ того, що зазначені межі існують.
Матрична експонента Експоненту від квадратної матриці (або лінійного оператора) можна формально визначити, підставивши матрицю у відповідний ряд:
Визначений таким чином ряд збігається для будь-якого оператора з обмеженою нормою, оскільки мажорується поруч для експоненти норми Отже, експонента матриці завжди визначена і сама є матрицею.
За допомогою матричної експоненти легко задати вид рішення лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами: рівняння з початковою умовою має своїм рішенням
h-експонента Введення -експоненти засноване на другій чудовій границі:
При виходить звичайна експонента.
Обернена функція Обернена функція до експоненційної функції — натуральний логарифм. Позначається :
Див. також Експоненційне зростання Показникова функція Список інтегралів від експоненціальних функцій
Джерела
Література
Посилання
«Експонента і число е: просто і зрозуміло » — переклад статті An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained