Ланцю́г Тоди — система дискретних нелінійних рівнянь, які описують динаміку взаємопов'язаних нелінійних осциляторів. Має важливе значення у теорії коливань кристалічних ґраток.
Система у загальному випадку має вигляд:Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 554. — 622 с.
де має сенс величини відхилення n-го осцилятора від положення рівноваги, а — нелінійна функція, яка має сенс повертаючої сили, діючої на осцилятор . Точки означають взяття операції диференціювання.
Визначення Ланцюгом тоди називається нескінченна система рівнянь
на функції
Ланцюг Тоди є гамільтоновою системою із гамільтоніаном
відносно стандартної дужки Пуасона, де
Звичайний неперіодичний ланцюг Тода — це система з взаємодіючих частинок на прямій із гамільтоніаном
Для періодичного випадку така система характеризується гамільтоніаном
Тут — координата частинки — її імпульс.
Після переходу у систему центру мас () отримуємо систему із ступенем вільності. За допомогою зсувів координат можна перейти до випадку для неперіодичного ланцюга й до гамільтоніану
для періодичного ланцюга.
Рівняння руху у неперіодичному випадку (за ) мають вигляд
У періодичному ж випадку маємо:
Як у неперіодичному, так й у періодичному випадках мають інтегралів руху. Явний їх вигляд слідує з представлення Лакса, відкритого у роботах Флашки й Манакова.
Див. також Теплоємність Рівняння синус-Ґордона Рівняння Кортевега де Фріза Метод Хіроти
Джерела