У алгебричній топології теорема Вайтгеда стверджує, що якщо неперервне відображення f між CW-комплексами X і Y породжує ізоморфізми на всіх групах гомотопій, то f є гомотопною еквівалентністю. Теорему довів у 1949 році англійський математик Джон Вайтгед для демонстрації корисності введеного ним поняття CW-комплексу.

Твердження

Нехай X і Y є топологічними просторами. Неперервне відображення

для будь якої точки x у X і довільного n ≥ 1 породжує гомоморфізм

де πn(X,x) позначає n-ну групу гомотопій простору X із виділеною точкою x. (Для n = 0, π0(X) позначає множину компонент лінійної зв'язності простору X.) Відображення f називається слабкою гомотопною еквівалентністю якщо функція

є бієкцією і гомоморфізми f* є ізоморфізмами для всіх x у X і всіх n ≥ 1. (Якщо X і Y є лінійно зв'язними то перша умова виконується автоматично, а другу можна перевірити для довільної єдиної точки x у X.)

Теорема Вайтгеда стверджує, що слабка гомотопна еквівалентність між двома CW-комплексами є гомотопною еквівалентністю, тобто для відображення f: X → Y існує гомотопно обернене g: Y → X. Як наслідок таке твердження є справедливим і для просторів X і Y, що є гомотопно еквівалентними до CW-комплексів.

Поєднуючи твердження теореми із теоремою Гуревича одержується важливий наслідок: неперервне відображення між однозв'язними CW-комплексами, що породжує ізоморфізми на всіх всіх сингулярних гомологічних групах (із цілочисловими коефіцієнтами) є гомотопною еквівалентністю.

Простори із ізоморфними групами гомотопій можуть не бути гомотопно еквівалентними

У твердженні теореми не достатньо вимагати ізоморфізму груп πn(X) і πn(Y) для всіх n для того щоб простори X і Y були гомотопно еквівалентні. Необхідно щоб ізоморфізми груп гомотопій породжувалися відображеннями f : X → Y. Наприклад нехай X= S2 × RP3 і Y= RP2 × S3. Тоді X і Y мають ізоморфні фундаментальні групи, що є ізоморфними Z/2, і універсальні накриваючі простори гомеоморфні S2 × S3; тому їх групи гомотопій є ізоморфними. З іншої сторони їх групи гомологій є різними і тому X і Y не є гомотопно еквівалентними.

Теорема Вайтгеда не є справедливою для всіх топологічних просторів. Наприклад для варшавського кола, що є компактною підмножиною площини, всі групи гомотопій є тривіальними, але відображення із варшавського кола і одноточковий простір не є гомотопною еквівалентністю.

Доведення теореми

Лема 1 Нехай є парою топологічних просторів для яких включення є слабкою гомотопною еквівалентністю. Нехай є CW-комплексом, із виділеною точкою, яка є 0-клітиною. Тоді для будь-якої виділеної точки у , індуковане відображення класів гомотопії (для класу гомотопії за означенням ) є бієкцією.

Доведення леми Спершу доведемо, що є сюр'єктивним. Нехай є неперервним відображенням із збереженням виділених точок. За допомогою індукції по розмірності кістяків комплексу доведемо, що можна гомотопно деформувати так щоб образ при одержаному відображенні належав . Також при цьому для будь-якого підкомплекса у образ якого при відображенні належить , тоді не залежить від зокрема гомотопія зберігає виділену точку.

Для підкомплекса і кістяка позначимо і продовжимо на як і . Оскільки включення у є слабкою гомотопною еквівалентністю, то зокрема перетин кожної лінійної компоненти зв'язності простору із підпростором є лінійною компонентою зв'язності у . Звідси якщо є будь-якою 0-клітиною у , тоді існує шлях для якого і

Відображення можна продовжити на як Таким чином одержується база індукції.

Припустимо тепер, що відображення продовжено до відображення для якого

Для кожної n-клітини у , розглянемо композицію відображень

при якому образ є підмножиною

Визначимо гомеоморфізм із у себе заданий у граничних точках як:

У внутрішніх точках гомеоморфізм можна задати розглянувши як джойн множини і точки (0, 1/2). Тоді за означенням а всі інші внутрішні точки можна однозначно записати як де а є деякою граничною точкою у При такому записі можна одержати значення гомоморфізму як де для граничної точки визначено вище.

Для такого гомеоморфізму відображення є відображенням із пари просторів у пару просторів і тому є елементом відносної гомотопної групи , для деякої виділеної точки. Але є тривіальною групою і тому можна продовжити до відображення із при якому образи і належать Тоді після ще одного застосування відображення можна продовжити до відображення із при якому образ належать Цей процес задає неперервне продовження

для якого і як наслідок неперервне продовження для якого Тому є сюрєкцією.

Для доведення ін'єктивності нехай є неперервними відображеннями із збереженням виділеної точки для яких і є гомотопними за допомогою точкової гомотопії Оскільки є CW-комплексом і є підкомплексом, то із доведеної властивості сюр'єктивності можна гомотопно деформувати у відображення що збігається з на Тобто є гомотопією між і із збереженням виділеної точки.

Лема 2

Для слабкої гомотопної еквівалентності із збереженням виділених точок і CW-комплекса для якого виділена точка є 0-клітиною, відображення між класами гомотопії є бієктивним.

Доведення

Відображення є композицією відображень

де є циліндром відображення, є ін'єктивним відображенням, а є гомотопною еквівалентністю. Оскільки і є слабкими гомотопними еквівалентностями, то і є слабкою гомотопною еквівалентністю. Тому є бієкцією. Оскільки і є бієкцією, то бієкцією є і .

Доведення теореми Вайтгеда Нехай X і Y є CW-комплексами і f — слабка гомотопічна еквівалентність між ними. Згідно попередньої леми відображення є бієкцією, тому існує неперервне відображення таке що є гомотопним одиничному відображенню на Тоді теж є слабкою гомотопною еквівалентністю і також існує відображення для якого є гомотопним одиничному відображенню на . Але тоді (де позначає гомотопну еквівалентність):

тож також і є гомотопним оберненим до .

Див. також

CW-комплекс

Джерела

J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. I., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 213–245 J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. II., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 453–496 A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. and (see Theorem 4.5)