Торичний вузол — особливий вид вузлів, що лежать на поверхні незавузленого тора в .
Торичне зачеплення — зачеплення, що лежить на поверхні тора.
Кожен торичний вузол визначається парою взаємно простих цілих чисел і . Торичне зачеплення виникає, коли і не взаємно прості (в цьому випадку число компонент дорівнює найбільшому спільному дільнику і ). Торичний вузол є тривіальним тоді і тільки тоді, коли або , або дорівнює 1 або -1. Найпростішим нетривіальним прикладом є (2,3)-торичний вузол, відомий також як трилисник.
Геометричне подання Торичний вузол можна подати геометрично різними способами, топологічно еквівалентними, але геометрично різними.
Зазвичай використовується домовленість, що -торичний вузол обертається разів навколо кругової осі тора і разів навколо осі обертання тора. Якщо і не взаємно прості, то виходить торичне зачеплення, що має більше однієї компоненти. Домовленості про напрямок обертання ниток навколо тора також різні, найчастіше припускається правий гвинт для .
-торичний вузол можна задати параметризацією:
, , ,
де і . Він лежить на поверхні тора, що задається формулою (в циліндричних координатах).
Можливі й інші параметризації, оскільки вузли визначені з точністю до неперервної деформації. Приклади для (2,3)- і (3,8)-торичних вузлів можна отримати, прийнявши , а в разі (2,3)-торичного вузла — шляхом віднімання і з наведених вище параметризацій і .
Властивості
Торичний вузол є тривіальним тоді і тільки тоді, коли або , або дорівнює 1 або -1 .
Кожен нетривіальний торичний вузол є простим і хіральним.
-торичний вузол еквівалентний -торичному вузлу. -торичний вузол є оберненим (дзеркальним відображенням) -торичного вузла. -торичний вузол еквівалентний -торичному вузлу, за винятком орієнтації.
Будь-який -торичний вузол можна побудувати з замкнутої коси з нитками. Відповідне слово коси:
.
Ця формула використовує домовленість, що генератори коси використовують праві обертанняDehornoy, P. et al. (2000). Why are braids orderable? http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Books/Why/Dgr.pdf .
Число перетинів -торичного вузла з задається формулою:
.
Рід торичного вузла з дорівнює:
Многочлен Александера торичного вузла дорівнює:
.
Многочлен Джонса (правогвинтовий) торичного вузла задається формулою:
.
Доповнення торичного вузла на 3-сфері — це многовид Зейферта.
Нехай — -мірний блазенський ковпак з диском, видаленим всередині, — -вимірний блазенський ковпак з диском, видаленим всередині, і — фактор-простір, отриманий ототожненням і вздовж межі кола. Доповнення -торичного вузла є деформаційним ретрактом простору . Таким чином, група вузла торичного вузла має подання:
.
Торичні вузли — це єдині вузли, чиї групи вузла мають нетривіальні центри (які є нескінченними циклічними групами, утвореними елементом з цього подання).
Перелік
Тривіальний вузол, 31-вузол (2,3), вузол «Перстач» (5,2), вузол 7₁ (7,2), вузол 819 (4,3), вузол 91 (9,2), вузол 10124 (5,3).
Див. також
Альтернований вузол Перстач (вузол)
Примітки
Література
Посилання Про поліноми Чебишова і торичні вузли 36 Torus Knots, The Knot Atlas.
Torus knot renderer in Actionscript Fun with the PQ-Torus Knot