В теорії вузлів оборотний вузол — це вузол, який може бути безперервною деформацією переведений у себе, але зі оберненою орієнтацією. Необоротний вузол — це будь-який вузол, який не має такої властивості. Оборотність вузла є інваріантом вузла. Оборотне зачеплення — це зачеплення з такою самою властивістю.

Існує всього п'ять типів симетрії вузлів, які визначаються хіральністью і оборотністю — повністю хіральний, двосторонній, додатно ахіральний необоротний, від'ємно ахіральний необоротний і повністю ахіральний оборотний.

Історія питання + Число оборотних і необоротних вузлів за числом перетинів Число перетинів 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 OEIS послідовність Необоротні вузли 0 0 0 0 0 1 2 33 187 1144 6919 38118 226581 1309875 Оборотні вузли 1 1 2 3 7 20 47 132 365 1 032 3069 8854 26712 78830 Давно відомо, що більшість простих вузлів, таких як трилисник і вісімка, оборотні. 1962 року висловив припущення, що деякі вузли необоротні, але не було доведено їх існування, поки в 1963 році не виявив нескінченне сімейство необоротних мереживних зачеплень. Тепер відомо, що майже всі вузли необоротні.

Оборотні вузли

Всі вузли з числом перетинів 7 і менше — оборотні. Не відомо загального методу, який дав би відповідь оборотний вузол чи ні. Проблему можна перевести в алгебричну термінологію, але, на жаль, не відомо алгоритму розв'язання цієї алгебричної задачі.

Якщо вузол оборотний і ахіральний, він повністю ахіральний. Найпростіший вузол з цією властивістю — вісімка. Хіральні оборотні вузли класифікуються як двосторонні.

Строго оборотні вузли Більш абстрактний спосіб визначення оборотного вузла — сказати, що існує гомеоморфізм 3-сфери, що переводить вузол в себе, але змінює орієнтацію вузла на протилежну. Якщо використовувати замість гомеоморфізму більш строгу умову — інволюцію — отримаємо визначення строго оборотного вузла. Всі вузли з 1, такі як трилисник і вісімка, строго оборотні.

Необоротні вузли

Найпростішим прикладом необоротного вузла є 817 (в позначеннях Александера — Бріггса) або .2.2 (в позначеннях Конвея). Мереживний вузол 7, 5, 3 необоротний, як і всі мереживні вузли виду (2 p+1), (2q+1), (2r+1), де p, q і r — різні цілі, що дає нескінченне сімейство вузлів, необоротність яких довів Троттер.

Див. також Хіральний вузол

Примітки

Література

Посилання Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. Basic graph theory: Non-invertible knot and links , LinKnot. Explanation with a video , Nrich. Maths.org.