Многогранник, многокутник або мозаїка є ізотоксальним або реберно-транзитивним, якщо його симетрії діють транзитивно на його ребрах. Неформально це означає, що об'єкт має тільки один вид ребер — якщо дано два ребра, існує паралельне перенесення, поворот і/або дзеркальне відображення, що переводить одне ребро в інше, не змінюючи області, займаної об'єктом.

Термін ізотоксальний походить від грецького , що означає дуга.

Ізотоксальні многокутники Ізотоксальний многокутник завжди є рівностороннім, але не всі рівносторонні многокутники ізотоксальні. Многокутники, двоїсті ізотоксальним многокутникам є ізогональними многокутниками.

У загальному випадку ізотоксальный 2n-кутник матиме Dn (*nn) діедричну симетрію. Ромб є реберно-транзитивним многокутником із симетрією D2 (*22).

Всі правильні многокутники (правильний трикутник, квадрат і т. д.) ізотоксальні, маючи подвоєний мінімальний порядок симетрії — правильний n-кутник має Dn (*nn) діедричну симетрію. Правильний 2n-кутник є вершинно-транзитивним многокутником і його вершини можна позначити по черзі двома кольорами, що видаляє осьову симетрію через середину ребер. +Приклади ізотоксальних многокутників D2 (*22) D3 (*33) D4 (*44) D5 (*55) Ромб Рівносторонній трикутник Увігнутий шестикутник Самоперетинний шестикутник Опуклий восьмикутник Правильний п'ятикутник Самоперетинна (правильна) пентаграма Самоперетинна декаграма

Реберно-транзитивні многогранники і мозаїки Правильні многогранники є ізоедральними (гране-транзитивними), ізогональними (вершинно-транзитивними) і ізотоксальними (реберно-транзитивними). Квазіправильні многогранники є ізогональними й ізотоксальними, але не ізоедральними. Їхні двоїсті многогранники ізоедральні й ізотоксальні, але не ізогональні. +приклади Квазіправильниймногогранник Квазіправильний двоїстиймногогранник Квазіправильнийзірчастий многогранник Квазіправильний двоїстийзірчастий многогранник Квазіправильнамозаїка Квазіправильна двоїстамозаїкаКубооктаедр є ізогональним і ізотоксальним многогранникомРомбододекаедр є ізоедральним і ізотоксальним многоранником | є ізогональним і ізотоксальним зірчастим многогранником є ізоедральним і ізотоксальним зірчастим многогранникомТришестикутна мозаїка є ізогональною й ізотоксальною мозаїкоюРомбічна мозаїка є ізоедральною й ізотоксальною мозаїкою із симетрією p6m (*632). Не будь-який многогранник або 2-вимірна мозаїка, що складаються з правильних многокутників, є ізотоксальними. Наприклад, зрізаний ікосаедр (знайомий нам за футбольним м'ячем) має два типи ребер — шестикутник-шестикутник і шестикутник-п'ятикутник і немає можливості симетрією перевести ребро шестикутник-шестикутник у шестикутник-п'ятикутник.

Ізотоксальний многокутник має такі самі діедричні кути для всіх ребер.

Існує дев'ять опуклих реберно-транзитивних многогранників, утворених із правильних многогранників, 8, утворених з многогранників Кеплера — Пуансо, і ще шість є квазіправильними зірчастими многогранниками (3 | p q) і їх двоїстими.

Існує 5 многокутних реберно-транзитивних мозаїк на евклідовій площині і нескінченно багато на гіперболічній площині, включно з побудовами Вітгоффа з правильних гіперболічних мозаїк {p, q} і неправильних (p q r) груп.

Див. також Вершинно-транзитивне тіло/фігура Гране-транзитивне тіло Комірко-транзитивне тіло

Примітки

Література