Недоторканне число () — додатне ціле число, яке не можна подати як суму всіх власних дільників будь-якого цілого додатного числа (зокрема й самого недоторканного числа).
Наприклад, число 4 не є недоторканним, оскільки воно дорівнює сумі власних дільників числа 9: 1 + 3 = 4. Число 5 є недоторканним, адже його не можна подати у вигляді суми власних дільників будь-якого натурального числа: 5 = 1 + 4 — єдиний спосіб, щоб записати 5 у вигляді суми різних натуральних чисел, включно з 1, але, якщо 4 — дільник числа, то 2 також є його дільником, так що 1 + 4 не може бути сумою всіх власних дільників будь-якого числа (адже перелік дільників повинен містити як 4, так і 2).
Перші 53 недоторканних числа:
2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658
Вважають, що 5 — єдине непарне число з недоторканних, але це не доведено. Це повинно випливати з трохи посиленого варіанту гіпотези Гольдбахапосилений варіант можна отримати додаванням до гіпотези Гольдбаха вимоги про те, що два простих числа — різні — див. . Таким чином, можливо, що, крім 2 і 5, всі недоторканні числа — складені. Досконалі числа не можуть бути недоторканними, адже вони можуть бути дорівнюють сумі своїх власних дільників.
Пал Ердеш довів, що множина недоторканих чисел нескінченнаP. Erdos, Ueber die Zahlen der Form sigma (n) -n und n-phi (n). Elemente der Math. 28 (1973), 83-86..
Не існує недоторканих чисел, які б були на одиницю більші, ніж просте число, оскільки, якщо р — просте число, то сума власних дільників р2 буде р + 1. Крім того, не існує недоторканих чисел, за винятком 5, які дорівнюють простому числу плюс три, оскільки, якщо р — просте число, не рівне 2, то сума власних дільників 2р буде р + 3.
Примітки
Ресурси Інтернету Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory / 3rd ed., Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B10.