Група вузла — характеристика вузла, що визначається як фундаментальна група його доповнення.
Визначення Нехай — вузол. Тоді група вузла вузла визначається як фундаментальна група .
Коментар За іншими домовленостями вузол розглядається як вкладення кола в 3-сферу. В цьому випадку групу вузла визначають як фундаментальну групу його доповнення в . Обидва визначення дають ізоморфні групи.
Властивості Два еквівалентних вузли мають ізоморфні групи вузлів, так що група вузла є інваріантом вузла і може бути використана для встановлення нееквівалентності пари вузлів. Однак два нееквівалентних вузли можуть мати ізоморфні групи вузлів (див. приклад нижче).
Абелізація вузла завжди ізоморфна нескінченній циклічній групі . Це випливає з того, що абелізація збігається з першою групою гомологій, яку легко обчислити.
Групу вузлів (а також фундаментальну групу орієнтованих зачеплень у загальному випадку) можна обчислити за допомогою порівняно простих алгоритмів, використовуючи .
Приклади Група тривіального вузла ізоморфна . Зворотне також істинне. Група трилисника ізоморфна групі кіс , ця група має задання: або . Група -торичного вузла має задання: . Група вісімки має задання: . Прямий вузол і бабин вузол мають ізоморфні групи вузлів, але ці вузли не еквівалентні.
Див. також
Примітки
Література