Многочленом Ергарта для заданого багатогранника в багатовимірному просторі називається многочлен, значення якого в будь-якій цілій точці збігається з кількістю цілих точок простору (взагалі кажучи, точок будь-якої ґратки), що містяться всередині даного багатогранника, збільшеного в разів.
Обсяг самого багатогранника (з коефіцієнтом гомотетії ) дорівнює старшому коефіцієнту многочлена Ергарта, що можна розглядати як варіант багатовимірного узагальнення теореми Піка.
Названі на честь , який вивчав їх у 1960-х роках.
Визначення Нехай — багатогранник з цілими вершинами, і — його гомотетія з цілим коефіцієнтом . Позначимо через кількість цілих точок . Можна довести, що число виражається як многочлен від ; цей многочлен називають многочленом Ергарта.
Приклади
для одиничного цілого -вимірного куба .
Властивості
(Взаємність Ергарта — Макдональда) Число внутрішніх цілих точок в дорівнює
де — розмірність .
Будь-яка валюація на цілих багатогранниках, інваріантна відносно цілих зсувів і , виражається як лінійна комбінація коефіцієнтів многочлена Ергарта.Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202—208.
Для будь-якого -вимірного багатогранника , три коефіцієнти многочлена Ергарта мають просту інтерпретацію: вільний член многочлена Ергарта дорівнює 1; головний коефіцієнт при дорівнює об'єму багатогранника; коефіцієнт при дорівнює половині суми відношень площ граней до визначника ґратки, одержуваної перетином цілочилових точок із продовженням грані. Зокрема, при многочлен Ергарта багатокутника дорівнює
де — площа багатокутника, а — кількість цілочислових точок на його кордоні. Підставивши , отримаємо формулу Піка.
Примітки
Посилання