У математиці схема Бернуллі або зсув Бернуллі є узагальненням для більш ніж двох можливих результатів.P. Shields, The theory of Bernoulli shifts, Univ. Chicago Press (1973)Michael S. Keane, «Ergodic theory and subshifts of finite type», (1991), appearing as Chapter 2 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X Схеми Бернуллі природно проявляються в , і тому важливі при досліджені динамічних систем. Багато важливих динамічних систем (такі як аксіома А в теорії динамічних систем) мають атрактор, який є добутком множини Кантора і гладкого многовиду, а динаміка на множині Кантора ізоморфна динаміці зсуву Бернуллі.Pierre Gaspard, Chaos, scattering and statistical mechanics(1998), Cambridge University press По суті, це . Термін «зсув» відноситься до оператора зсуву, який може бути використаний для вивчення схем Бернуллі. показує, що зсуви Бернуллі є ізоморфними, якщо їх однакова.
Означення Схема Бернуллі — це дискретний часовий стохастичний процес, де кожна незалежна випадкова величина може приймати одне з різних можливих значень, причому -й результат відбувається з імовірністю , при , і
Простір елементарних подій як правило позначається
як скорочення для
Пов'язана міра називається мірою БернулліKlenke, Achim (2006). Probability Theory. Springer-Verlag. ISBN 978-1-84800-047-6.
σ-algebra на є добутком -алгебр, тобто це (скінченний) прямий добуток -алгебр скінченної множини . Таким чином, трійка
є простором з мірою. Базис є . Нехай задано циліндричну множину , її мірою є
Еквівалентний вираз з використанням позначень теорії ймовірностей має вигляд
для випадкових величин .
Схему Бернуллі, як і будь-який стохастичний процес, можна розглядати як динамічну систему з оператором зсуву , де
Оскільки результати незалежні, то зсув зберігає міру, і, отже, є . Четвірка
є , і називається схемою Бернуллі або зсувом Бернуллі. Її часто позначають як
При = 2 схема Бурнуллі називається . Зсув Бернуллі можна розуміти як окремий випадок, , де всі елементи матриці суміжності одиниці. Таким чином, відповідний граф є клікою.
Відповідності та метрика Відстань Геммінга забезпечує природну метрику для схеми Бернуллі. Інша важлива метрика, так звана -метрика, визначається через супремум над відповідностями рядків
Нехай і — два набори символів. Відповідність є послідовністю пар набору. Тобто пари для яких , вважаються повністю впорядкованими. Кожна окрема підпослідовність і впорядковується: , і у такий же спосіб .
-відстанню між і є
де супремум беремо за усіма відповідностями між і . Так означена відстань задовольняє нерівність трикутника лише при умові, що і тому це не зовсім справжня метрика. Незважаючи на це, в літературі загальновживаним є термін «відстань».
Узагальнення Більшість властивостей схеми Бернуллі випливають із зліченного прямого добутку, ніж з скінченного базового простору. Таким чином, можна прийняти за базовий простір і визначити схему Бернуллі як
Такий підхід є конструктивним, оскільки зліченний прямий добуток стандартного простору ймовірностей знову є стандартним простором ймовірностей.
Для іншого узагальнення можна замінити цілі числа на зліченну дискретну групу . Таким чином,
У цьому випадку оператор зсуву замінюється на дію групи
для елементів групи, і розуміється як функція (будь-який прямий добуток розуміємо як множину функції , оскільки це є експоненційний об'єкт. Міра вибирається як міра Хаара, яка інваріантна під дією групи:
Ці узагальнення також загальнопринято називати схемами Бернуллі, оскільки вони все ще зберігають більшість властивостей скінченного випадку.
Властивості Яків Синай показав, що схеми Бернуллі визначається якYa.G. Sinai, (1959) «On the Notion of Entropy of a Dynamical System», Doklady of Russian Academy of Sciences 124, pp. 768—771.Ya. G. Sinai, (2007) «Metric Entropy of Dynamical System »
Ця формула для ентропії випливає із загального означення ентропії прямого декартового добутку ймовірносних просторів, яке випливає з . У випадку загального базового простору (тобто базовий простір, який не є зліченним) зазвичай розглядається відносна ентропія. Так, наприклад, якщо маємо зліченне розбиття
У загальному випадку ця ентропія залежить від розбиття. Однак для багатьох динамічних систем, коли не залежить від розбиття (скоріше існують ізоморфізми, які пов'язують символьну динаміку різних розбиттів і залишають міру інваріантною), і тому такі системи можуть мати добре визначену ентропію, яка не залежить від розбиття.
Теорема про ізоморфізм Орнштейна стверджує, що дві схеми Бернуллі з однаковою ентропією ізоморфні. Результат є дуже особливим, оскільки для несхематичних систем, таких як немає подібної властивості. Теорема про ізоморфізм насправді набагато глибша: вона забезпечує простий критерій, за допомогою якого багато різних , можна вважати ізоморфними схемам Бернуллі. Результат виявився неочікуваним, оскільки багато систем, які раніше вважалися непов'язаними, виявились ізоморфними. До них відносяться скінченні стаціонарні стохастичні процеси, , скінченні ланцюги Маркова, дифероморфізми Аносова і : всі вони ізоморфні до схем Бернуллі.
В узагальненому випадку теорема про ізоморфізм Орнштейна залишається справедливою, якщо група є зліченною нескінченною .
Автоморфізм Бернуллі Оборотне (простір Лебега) називають автоморфізмами Бернуллі, якщо воно ізоморфне зсуву БернулліPeter Walters (1982) An Introduction to Ergodic Theory, Springer-Verlag, .
Див. також
Ланцюги Маркова
Література